Bài tập 7, § 3

Cho E là một không gian vectơ mêtric đầy đủ trên một vành chia định giá không rời rạc K. Ta nói rằng một không gian con vectơ M của E là paracomplete nếu tồn tại trên M một cấu trúc không gian vectơ mêtric đầy đủ sao cho đơn ánh chính tắc của M vào E là liên tục. a) Cho M, N là hai không gian con paracomplete của E sao cho M + N và M ∩ N là đóng trong E. Chứng minh rằng M và N là đóng trong E. (Lấy thương theo M ∩ N đưa câu hỏi về trường hợp M ∩ N = {0}, và khi đó ta có thể xét ánh xạ $(x, y) \mapsto x + y$ của M × N vào E). b) Chứng minh rằng nếu E là hợp của một dãy tăng các không gian con paracomplete, $(M_j)_{j \geq 0}$, thì tồn tại một chỉ số j sao cho $M_j = E$. (Sử dụng định lý Baire (GT, IX, § 5.3, th. 1) và I, p. 17, th. 1).