Exercice 8, § 3

Soit E un espace de Banach sur un corps valué non discret K. On dit qu’un sous-espace vectoriel M de E est fortement paracomplet s’il existe sur M une norme $\|x\|_M$ pour laquelle M est un espace de Banach et pour laquelle l’injection canonique de M dans E est continue. a) Montrer que si M et N sont deux sous-espaces fortement paracomplets de E, M + N et M ∩ N sont aussi des sous-espaces fortement paracomplets. (Sur M + N, considérer la norme $\|x\|_{M+N} = \inf(\|u\|_M + \|v\|_N)$, où la borne inférieure est prise sur l’ensemble des couples $(u, v)$ tels que $x = u + v, u \in M$ et $v \in N$.) b) Soient M, N deux sous-espaces fortement paracomplets de E tels que N et M + N soient fermés. Montrer que l’on a $\overline{M} = M + (\overline{M} \cap \overline{N})$ et $\overline{M} \cap \overline{N} = \overline{M} \cap N$ (utiliser l’exerc. 7, a)).