Bài tập 8, § 3

Cho E là một không gian Banach trên một vành chia định giá không rời rạc K. Ta nói rằng một không gian con vectơ M của E là parahoàn chỉnh mạnh nếu tồn tại một chuẩn $\|x\|_M$ trên M sao cho M là một không gian Banach và đơn ánh chính tắc từ M vào E là liên tục. a) Chứng minh rằng nếu M và N là hai không gian con parahoàn chỉnh mạnh của E, thì M + N và M ∩ N cũng là các không gian con parahoàn chỉnh mạnh. (Trên M + N, xét chuẩn $\|x\|_{M+N} = \inf(\|u\|_M + \|v\|_N)$, trong đó cận dưới được lấy trên tất cả các cặp $(u, v)$ sao cho $x = u + v,\ u \in M$ và $v \in N$.) b) Cho M, N là hai không gian con parahoàn chỉnh mạnh của E sao cho N và M + N là đóng. Chứng minh rằng $\overline{M} = M + (\overline{M} \cap \overline{N})$ và $\overline{M \cap N} = \overline{M} \cap \overline{N}$ (dùng bài tập 7, a)).