Exercice 9, § 3

a) Soient a, b deux points d’un espace normé E sur le corps R. Désignant par $\delta(A)$ le diamètre d’une partie bornée A de E (pour la distance sur E), on définit par récurrence une suite $(B_n)_{n \geq 1}$ de parties bornées de E par les conditions suivantes : $B_1$ est l’ensemble des $x \in E$ tels que $\|x - a\| = \|x - b\| = \frac{1}{2}\|a - b\|$; pour $n > 1$, $B_n$ est l’ensemble des $x \in B_{n-1}$ tels que $\|x - y\| \leq \frac{1}{2} \delta(B_{n-1})$ pour tout $y \in B_{n-1}$. Montrer que l’intersection des $B_n$ se réduit au point $\frac{1}{2}(a + b)$ (remarquer que $\delta(B_n) \leq \frac{1}{2} \delta(B_{n-1})$). b) Déduire de a) que si $u$ est une isométrie d’un espace de Banach réel E sur un espace de Banach réel F, $u$ est une application linéaire affine de E sur F.