Bài tập 9, § 3

a) Cho a, b là hai điểm của một không gian chuẩn hóa E trên trường R. Ký hiệu $\delta(A)$ là đường kính của một tập hợp bị chặn A trong E (sử dụng mêtric chuẩn trên E) và định nghĩa quy nạp dãy $(B_n)_{n \geq 1}$ các tập hợp bị chặn trong E thỏa mãn các điều kiện sau : $B_1$ là tập hợp các $x \in E$ sao cho $\|x - a\| = \|x - b\| = \frac{1}{2}\|a - b\|$; với $n > 1$, $B_n$ là tập hợp các $x \in B_{n-1}$ sao cho $\|x - y\| \leq \frac{1}{2}\delta(B_{n-1})$ với mọi $y \in B_{n-1}$. Chứng minh rằng giao của các $B_n$ chỉ là điểm duy nhất $\frac{1}{2}(a + b)$ (chú ý rằng $\delta(B_n) \leq \frac{1}{2}\delta(B_{n-1})$). b) Suy ra từ a) rằng nếu $u$ là một đẳng cấu bảo toàn khoảng của không gian Banach thực E lên không gian Banach thực F, thì $u$ là một ánh xạ tuyến tính affine của E lên F.