Exercice 1, § 1

Soit E un espace vectoriel topologique à gauche sur un corps topologique non discret K. On dit qu’une partie B de E est bornée si pour tout voisinage V de 0 dans E, il existe $\lambda \neq 0$ dans K tel que $\lambda B \subset V$. a) Montrer que, si B est bornée dans E, pour tout voisinage V de 0 dans E, il existe un voisinage U de 0 dans K tel que U.B $\subset V$. b) Montrer que l’adhérence d’un ensemble borné dans E est bornée. La réunion de deux ensembles bornés est bornée. Tout ensemble précompact dans E est borné. Étendre aux espaces vectoriels topologiques sur K les corollaires de III, p. 4, prop. 4. c) Montrer que si A est une partie bornée dans K (considéré comme espace vectoriel à gauche sur lui-même) et B une partie bornée de E, A.B est borné dans E. d) Étendre la prop. 3 de III, p. 3 au cas où K est un corps topologique métrisable. e) Étendre aux espaces vectoriels topologiques sur K la notion d’espace quasi-complet et ses propriétés.