Bài tập 1, § 1

Cho E là một không gian vectơ tôpô trái trên một trường tôpô không rời rạc K. Một tập con B của E được gọi là bị chặn nếu với mọi lân cận V của 0 trong E, tồn tại $\lambda \neq 0$ trong K sao cho $\lambda B \subset V$. (a) Chứng minh rằng nếu B bị chặn trong E, thì với mọi lân cận V của 0 trong E, tồn tại một lân cận U của 0 trong K sao cho $U.B \subset V$. (b) Chứng minh rằng bao đóng của một tập bị chặn trong E là bị chặn. Hợp của hai tập bị chặn là bị chặn. Mọi tập tiền compact trong E đều bị chặn. Mở rộng các hệ quả của III, p. 4, mệnh đề 4 cho các không gian vectơ tôpô trên K. (c) Chứng minh rằng nếu A là một tập bị chặn trong K (được xem như một không gian vectơ trái trên chính nó) và B là một tập bị chặn trong E, thì A.B là bị chặn trong E. (d) Mở rộng mệnh đề 3 của III, p. 4 cho trường hợp K là một vành chia tôpô mêtric hóa được. (e) Mở rộng khái niệm không gian nửa đầy đủ và các tính chất của nó cho các không gian vectơ tôpô.