Exercice 10, § 1

Soit $(E_i)_{i \in I}$ une famille infinie d’espaces vectoriels topologiques séparés, non réduits à 0, sur un corps topologique non discret K. Soient E l’espace vectoriel somme directe des $E_i$, et $\mathscr{T}_0$ la topologie sur E définie dans I, p. 24, exerc. 14. Pour qu’une partie B de E soit bornée pour $\mathscr{T}_0$ (III, p. 38, exerc. 1), il faut et il suffit que B soit contenue dans un sous-espace produit $\prod_{i \in H} E_i$, où H est une partie finie de I, et que ses projections sur chacun des $E_i$ pour $i \in H$ soient bornées. En déduire (pour $K = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$) que, si chacun des $E_i$ est un espace quasi-complet, E, muni de $\mathscr{T}_0$, est quasi-complet.