Bài tập 10, § 1

Cho $(E_i)_{i \in I}$ là một họ vô hạn các không gian vectơ tôpô Hausdorff, không gian nào chỉ là điểm 0, trên một trường tôpô không rời rạc K. Cho E là không gian vectơ tổng trực tiếp của các $E_i$, và $\mathscr{T}_0$ là tôpô trên E được xác định trong I, p. 24, bài tập 14. Khi đó một tập con B của E là bị chặn đối với $\mathscr{T}_0$ (III, p. 37, bài tập 1) khi và chỉ khi B được chứa trong một không gian con tích $\prod_{i \in H} E_i$, trong đó H là một tập con hữu hạn của I và các phép chiếu của B trên mỗi $E_i$ với $i \in H$ là bị chặn. Suy ra (đối với $K = \mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$) rằng, nếu mỗi $E_i$ là một không gian nửa đầy đủ, thì E với $\mathscr{T}_0$ là nửa đầy đủ.