Exercice 11, § 1

Soit E un espace vectoriel topologique sur un corps valué non discret K. a) Pour qu’une partie équilibrée A de E absorbe toute partie bornée (III, p. 38, exerc. 1) de E, il suffit que A absorbe l’ensemble des points de toute suite $(x_n)$ tendant vers 0 dans E. On dit alors que A est bornivore. b) Soit $u$ une application linéaire de E dans un espace vectoriel topologique F sur K. Pour que l’image par $u$ de toute partie bornée de E soit bornée dans F, il suffit que, pour toute suite $(x_n)$ de points de E tendant vers 0, la suite $(u(x_n))$ soit bornée dans F. c) On suppose E métrisable. Montrer que toute partie bornivore de E est un voisinage de 0 dans E. En déduire que si $u$ est une application linéaire de E dans un espace vectoriel topologique F sur K, qui transforme toute suite convergente vers 0 dans E en une suite bornée dans F, $u$ est continue dans E.