Bài tập 11, § 1

Cho E là một không gian vectơ tôpô trên một trường K với một giá trị không rời rạc. (a) Để một tập con cân bằng A của E hấp thụ mọi tập bị chặn (III, p. 37, exerc. 1) của E, chỉ cần rằng A hấp thụ tập hợp các điểm của mọi dãy $(x_n)$ tiến tới 0 trong E. Khi đó A được gọi là hấp thụ-bị-chặn. (b) Cho u là một ánh xạ tuyến tính từ E vào một không gian vectơ tôpô F trên K. Ảnh của mọi tập con bị chặn của E qua u là bị chặn trong F khi và chỉ khi với mọi dãy $(x_n)$ các điểm của E tiến tới 0, dãy $(u(x_n))$ là bị chặn trong F. (c) Giả sử E là mêtric hoá được. Chứng minh rằng mọi tập con hấp thụ-bị-chặn của E là một lân cận của 0 trong E. Suy ra rằng nếu u là một ánh xạ tuyến tính từ E vào một không gian vectơ tôpô F trên K biến mọi dãy hội tụ tới 0 trong E thành một dãy bị chặn trong F, thì u liên tục trên E.