Exercice 12, § 1

Soient E un espace vectoriel topologique séparé sur un corps valué non discret K, F un espace vectoriel métrisable sur K. Si $u$ est une application linéaire continue de E dans F telle que, pour toute partie bornée B de F, $u^{-1}(B)$ soit bornée dans E, montrer que $u$ est un isomorphisme de E sur un sous-espace de F.