Exercice 13, § 1

Soient I un ensemble infini, $(E_i)_{i \in I}$ une famille d’espaces localement convexes non réduits à 0. Soit $f$ une application linéaire de $E = \prod_{i \in I} E_i$ dans un espace de Banach F ; montrer que, si l’image par $f$ de toute partie bornée de E est une partie bornée de F, il existe une partie finie H de I telle que, pour tout $i \notin H$, la restriction de $f$ à $E_i$ (considéré comme sous-espace de E) soit nulle. (Raisonner par l’absurde en formant, dans l’hypothèse contraire, une suite bornée $(x_n)$ dans E dont l’image par $f$ soit non bornée dans F.)