Bài tập 13, § 1

Cho I là một tập vô hạn, và $(E_i)_{i \in I}$ là một họ các không gian lồi địa phương, không gian nào trong số đó cũng khác 0. Cho f là một ánh xạ tuyến tính từ $E = \prod_{i \in I} E_i$ vào một không gian Banach F. Chứng minh rằng nếu ảnh của mọi tập con bị chặn của E qua f là một tập con bị chặn của F, thì tồn tại một tập con hữu hạn H của I sao cho với mọi $i \notin H$, hạn chế của f lên $E_i$ (được xem như một không gian con của E) là không. (Lập luận bằng phản chứng rằng nếu không, ta có thể xây dựng một dãy bị chặn $(x_n)$ trong E mà ảnh của nó qua f là không bị chặn trong F.)