Exercice 15, § 1

Dans un espace vectoriel topologique séparé E sur $\mathbf{R}$, soient A un ensemble convexe compact, B un ensemble convexe borné et fermé. Montrer que l’enveloppe convexe C de la réunion $A \cup B$ est un ensemble fermé. (Considérer un point z adhérent à C, non dans A, et se ramener au cas où $z = 0$. Remarquer qu’il existe un voisinage V de 0 et un nombre $\alpha < 1$ tel que les relations $0 \leq \lambda \leq 1,\ x \in A,\ y \in B,\ \lambda x + (1 - \lambda)y \in V$ entraînent $\lambda \leq \alpha$. Pour tout voisinage $W$ de 0, considérer ensuite l’ensemble des triplets $(\lambda,\ x,\ y)$ tels que $\lambda x + (1 - \lambda)y \in W,\ 0 \leq \lambda \leq 1,\ x \in A,\ y \in B.$