Bài tập 15, § 1

Trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff E trên $\mathbf{R}$, cho A là một tập hợp lồi compact và B là một tập hợp lồi, đóng và bị chặn. Hãy chứng minh rằng bao lồi C của hợp $A \cup B$ là một tập hợp đóng. (Xét một điểm z trong bao đóng của C, nhưng không thuộc A, và rút gọn về trường hợp $z = 0$. Nhận xét rằng tồn tại một lân cận V của 0 và một số $\alpha < 1$ sao cho các quan hệ $0 \leq \lambda \leq 1,\ x \in A,\ y \in B,\ \lambda x + (1 - \lambda) y \in V$ kéo theo $\lambda \leq \alpha$. Tiếp theo, với mỗi lân cận W của 0, xét tập hợp các bộ ba $(\lambda, x, y)$ sao cho $\lambda x + (1 - \lambda) y \in W,\ 0 \leq \lambda \leq 1,\ x \in A,\ y \in B.$)