Exercice 16, § 1

Soit E un espace localement convexe métrisable et de type dénombrable, de sorte que son complété $\hat{E}$ est un espace de Fréchet de type dénombrable. Montrer que toute partie bornée B de $\hat{E}$ est contenue dans l’adhérence d’une partie bornée de E. (Se ramener au cas où B est dénombrable, rangée en une suite $(x_n)$; soit d’autre part $(p_n)$ une suite croissante de semi-normes définissant la topologie de $\hat{E}$; considérer pour chaque entier $n$ une suite $(y_{nk})_{k \geq 1}$ de points de E qui converge vers $x_n$ et est telle que $p_n(x_n - y_{nk}) \leq 1$ pour tout $k \geq 1$.)