Bài tập 16, § 1

Cho E là một không gian lồi địa phương mêtric được thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, sao cho phần hoàn thành $\hat{E}$ của nó là một không gian Fréchet thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.

Chứng minh rằng mọi tập con bị chặn B của $\hat{E}$ được chứa trong bao đóng của một tập con bị chặn của $\hat{E}$. (Rút gọn về trường hợp B là đếm được, được sắp xếp thành một dãy $(x_n)$; mặt khác, cho $(p_n)$ là một dãy tăng các nửa chuẩn xác định tôpô của $\hat{E}$; với mỗi số nguyên n xét một dãy $(y_{nk})_{k \geq 1}$ các điểm của E, hội tụ đến $x_n$ và sao cho $p_n(x_n - y_{nk}) \leq 1$ với mọi $k \geq 1$.)

**T 17) Cho A là tập hợp các ánh xạ tăng $\geq 1$ từ $\mathbf{N}$ vào $\mathbf{N}$; với mọi $\alpha \in A$, ký hiệu $B_\alpha$ là tập hợp tất cả các điểm $z = (z_n) \in \mathbf{R}^\mathbf{N}$ sao cho $|z_n| \leq \alpha(n)$ với mọi $n \in \mathbf{N}$. a) Chứng minh rằng các tập hợp $B_\alpha$ lập thành một cơ sở cho bornologie của tất cả các tập con bị chặn của không gian $\mathbf{R}^\mathbf{N}$. b) Với mọi $\alpha \in A$, tập hợp $\mathbf{R}B_\alpha$ là một không gian con vectơ của $\mathbf{R}^\mathbf{N}$, phân biệt với $\mathbf{R}^\mathbf{N}$ và trù mật trong $\mathbf{R}^\mathbf{N}$; do đó tồn tại một dạng tuyến tính $f_\alpha \neq 0$ (không liên tục) trên $\mathbf{R}^\mathbf{N}$ sao cho $f_\alpha(z) = 0$ với mọi $z \in B_\alpha$. c) Cho E là không gian vectơ gồm tất cả các ánh xạ $g : \alpha \mapsto (g_n(\alpha)) \in \mathbf{R}^\mathbf{N}$ từ A vào $\mathbf{R}^\mathbf{N}$ sao cho với mọi $n \in \mathbf{N}$, tổng $p_n(g) = \sum_\alpha |g_n(\alpha)|$ là hữu hạn. Chứng minh rằng các $p_n$ là các nửa chuẩn định nghĩa tôpô của một không gian Fréchet trên E. d) Cho H là tập hợp tất cả các $h \in E$ sao cho $h(\alpha) \in \mathbf{R}B_\alpha$ với mọi $\alpha \in A$; chứng minh rằng H là một không gian con vectơ trù mật khắp nơi của E (nhận xét rằng mọi $h \in E$ sao cho $h(\alpha) = 0$ ngoại trừ một số hữu hạn giá trị của $\alpha \in A$ đều thuộc H). e) Cho $E_0 \subset E$ là không gian con vectơ của E gồm tất cả các $g \in E$ sao cho $\sum_\alpha |f_\alpha(g(\alpha))| < +\infty$; ánh xạ $u : g \mapsto (f_\alpha(g(\alpha)))_{\alpha \in A}$ khi đó là một ánh xạ tuyến tính từ $E_0$ vào không gian Banach $F = \ell^1(A)$ (I, p. 4). Chứng minh rằng $u(E_0)$ là trù mật khắp nơi trong F (nhận xét rằng với mọi tập con hữu hạn J của A, tồn tại $g \in E_0$ sao cho $g(\alpha) = 0$ với mọi $\alpha \in A - J$ và các $f_\alpha(g(\alpha))$ với $\alpha \in J$ nhận các giá trị tùy ý trong $\mathbf{R}$). Chứng minh rằng $u^{-1}(0)$ là trù mật khắp nơi trong $E_0$ (dùng d)). Cuối cùng, chứng minh rằng với mọi tập con bị chặn C của E, tồn tại $\alpha_0 \in A$ sao cho $f_{\alpha_0}(g(\alpha_0)) = 0$ với mọi $g \in C \cap E_0$, và suy ra rằng bao đóng của $u(C \cap E_0)$ trong F không là một lân cận của 0 trong F. f) Cho G là đồ thị của u trong $E_0 \times F$, một không gian con vectơ của không gian Fréchet $E \times F$. Chứng minh rằng G là trù mật khắp nơi trong $E \times F$ (nhận xét rằng với mọi $x \in E_0$, $x + u^{-1}(0)$ là trù mật trong E). Tuy nhiên, chứng minh rằng với mọi tập con bị chặn M của G, bao đóng $\overline{M}$ của M trong $E \times F$ không chứa tập bị chặn $\{0\} \times U$ của $E \times F$, trong đó U là quả cầu đơn vị trong F (nếu $N = pr_1(M)$, nhận xét rằng do e), $u(N)$ không thể chứa U).

18) Trong không gian Banach $\ell^1(\mathbf{N})$ (I, p. 4) cho $e_m$ là dãy $(\delta_{mn})_{n \geq 0}$ sao cho $\delta_{mn} = 0$ với $m \neq n$ và $\delta_{nn} = 1$. Hãy định nghĩa một ánh xạ liên tục từ $\ell^1(\mathbf{N})$ vào $\mathbf{R}$ biến dãy bị chặn của các $e_n$ thành một tập con không bị chặn của $\mathbf{R}$ (sử dụng định lý Urysohn (GT, IX, § 4, No. 2, đ.lý 2)).