Exercice 17, § 1

Soit A l’ensemble des applications croissantes et $\geq 1$ de $\mathbf{N}$ dans $\mathbf{N}$; pour tout $\alpha \in A$, on désigne par $B_\alpha$ l’ensemble des points $z = (z_n) \in \mathbf{R}^N$ tels que $|z_n| \leq \alpha(n)$ pour tout $n \in \mathbf{N}$. a) Montrer que les ensembles $B_\alpha$ forment une base de la bornologie de tous les ensembles bornés de l’espace $\mathbf{R}^N$. b) Pour chaque $\alpha \in A$, l’ensemble $RB_\alpha$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbf{R}^N$, distinct de $\mathbf{R}^N$ et dense dans $\mathbf{R}^N$; il existe donc une forme linéaire $f_\alpha \neq 0$ (non continue) sur $\mathbf{R}^N$ telle que $f_\alpha(z) = 0$ pour tout $z \in B_\alpha$. c) Soit E l’espace vectoriel des applications $g : \alpha \mapsto (g_n(\alpha)) \in \mathbf{R}^N$ de A dans $\mathbf{R}^N$ telles que pour tout $n \in \mathbf{N}$, la somme $p_n(g) = \sum_\alpha |g_n(\alpha)|$ soit finie. Montrer que les $p_n$ sont des semi-normes qui définissent sur E une topologie d’espace de Fréchet. d) Soit H l’ensemble des $h \in E$ tels que $h(\alpha) \in RB_\alpha$ pour tout $\alpha \in A$; montrer que H est un sous-espace vectoriel partout dense dans E (remarquer que tout $h \in E$ tel que $h(\alpha) = 0$ sauf pour un nombre fini de valeurs de $\alpha \in A$ appartient à H). e) Soit $E_0 \subset E$ le sous-espace vectoriel de E formé des $g \in E$ telles que $\sum_\alpha |f_\alpha(g(\alpha))| < +\infty$; l’application $u : g \mapsto (f_\alpha(g(\alpha)))_{\alpha \in A}$ est donc une application linéaire de $E_0$ dans l’espace de Banach $F = \ell^1(A)$ (I, p. 4). Montrer que $u(E_0)$ est partout dense dans F (observer que pour toute partie finie J de A, il existe $g \in E_0$ telle que $g(\alpha) = 0$ pour tout $\alpha \in A - J$ et que les $f_\alpha(g(\alpha))$ pour $\alpha \in J$ prennent des valeurs arbitraires dans $\mathbf{R}$). Montrer que $u^{-1}(0)$ est partout dense dans $E_0$ (utiliser d)). Enfin, montrer que pour toute partie bornée C de E, il existe $\alpha_0 \in A$ tel que $f_{\alpha_0}(g(\alpha_0)) = 0$ pour toute $g \in C \cap E_0$, et en déduire que l’adhérence de $u(C \cap E_0)$ dans F n’est pas un voisinage de 0 dans F. f) Soit G le graphe de $u$ dans $E_0 \times F$, sous-espace vectoriel de l’espace de Fréchet $E \times F$. Montrer que G est partout dense dans $E \times F$ (noter que pour tout $x \in E_0,\ x + u^{-1}(0)$ est dense dans E). Toutefois, montrer que pour toute partie bornée M de G, l’adhérence $\overline{M}$ de M dans $E \times F$ ne contient pas l’ensemble borné $\{0\} \times U$ de $E \times F$, où U est la boule unité dans F (si $N = pr_1(M)$, remarquer qu’en vertu de e), $u(N)$ ne peut contenir U).