Bài tập 17, § 1

Cho A là tập hợp các ánh xạ tăng và $\geq 1$ từ $\mathbf{N}$ vào $\mathbf{N}$; với mọi $\alpha \in A$, ký hiệu $B_\alpha$ là tập hợp các điểm $z = (z_n) \in \mathbf{R}^N$ sao cho $|z_n| \leq \alpha(n)$ với mọi $n \in \mathbf{N}$. a) Bây giờ chứng minh rằng các tập hợp $B_\alpha$ tạo thành một cơ sở của bornôlôgi của tất cả các tập hợp bị chặn của không gian $\mathbf{R}^N$. b) Với mỗi $\alpha \in A$, tập hợp $RB_\alpha$ là một không gian con vectơ của $\mathbf{R}^N$, phân biệt với $\mathbf{R}^N$ và trù mật trong $\mathbf{R}^N$; do đó tồn tại một dạng tuyến tính $f_\alpha \neq 0$ (không liên tục) trên $\mathbf{R}^N$ sao cho $f_\alpha(z) = 0$ với mọi $z \in B_\alpha$. c) Cho E là không gian vectơ của các ánh xạ $g : \alpha \mapsto (g_n(\alpha)) \in \mathbf{R}^N$ từ A vào $\mathbf{R}^N$ sao cho với mọi $n \in \mathbf{N}$, tổng $p_n(g) = \sum_\alpha |g_n(\alpha)|$ là hữu hạn. Bây giờ chứng minh rằng các $p_n$ là các nửa chuẩn mà định nghĩa trên E một tôpô không gian Fréchet. d) Cho H là tập hợp các $h \in E$ sao cho $h(\alpha) \in RB_\alpha$ với mọi $\alpha \in A$; bây giờ chứng minh rằng H là một không gian con vectơ trù mật khắp nơi trong E (nhận xét rằng mọi $h \in E$ sao cho $h(\alpha) = 0$ ngoại trừ một số hữu hạn các giá trị của $\alpha \in A$ đều thuộc H). e) Cho $E_0 \subset E$ là không gian con vectơ của E tạo bởi các $g \in E$ sao cho $\sum_\alpha |f_\alpha(g(\alpha))| < +\infty$; ánh xạ $u : g \mapsto (f_\alpha(g(\alpha)))_{\alpha \in A}$ do đó là một ánh xạ tuyến tính từ $E_0$ vào không gian Banach $F = \ell^1(A)$ (I, p. 4). Bây giờ chứng minh rằng $u(E_0)$ trù mật khắp nơi trong F (chú ý rằng với mọi tập con hữu hạn J của A, tồn tại $g \in E_0$ sao cho $g(\alpha) = 0$ với mọi $\alpha \in A - J$ và các $f_\alpha(g(\alpha))$ với $\alpha \in J$ nhận các giá trị tùy ý trong $\mathbf{R}$). Bây giờ chứng minh rằng $u^{-1}(0)$ trù mật khắp nơi trong $E_0$ (dùng d)). Cuối cùng, bây giờ chứng minh rằng với mọi tập con bị chặn C của E, tồn tại $\alpha_0 \in A$ sao cho $f_{\alpha_0}(g(\alpha_0)) = 0$ với mọi $g \in C \cap E_0$, và suy ra rằng bao đóng của $u(C \cap E_0)$ trong F không phải là một lân cận của 0 trong F. f) Cho G là đồ thị của $u$ trong $E_0 \times F$, không gian con vectơ của không gian Fréchet $E \times F$. Bây giờ chứng minh rằng G trù mật khắp nơi trong $E \times F$ (chú ý rằng với mọi $x \in E_0,\ x + u^{-1}(0)$ là trù mật trong E). Tuy nhiên, bây giờ chứng minh rằng với mọi tập con bị chặn M của G, bao đóng $\overline{M}$ của M trong $E \times F$ không chứa tập hợp bị chặn $\{0\} \times U$ của $E \times F$, trong đó U là quả cầu đơn vị trong F (nếu $N = pr_1(M)$, nhận xét rằng nhờ e), $u(N)$ không thể chứa U).