Exercice 2, § 1

a) Soit E un espace vectoriel topologique à gauche sur un corps topologique non discret K. Montrer que, s’il existe dans E un voisinage V de 0 qui est borné (exerc. 1), les ensembles $\lambda V$, pour $\lambda \in K$ et $\lambda \neq 0$, forment un système fondamental de voisinages de 0 dans E. Si K est métrisable, la topologie séparée associée à la topologie de E (TG, III, p. 13) est métrisable. Si K = $\mathbf{R}$ ou K = $\mathbf{C}$, la topologie localement convexe sur E la plus fine de celles qui sont moins fines que la topologie donnée sur E (II, p. 85, exerc. 23) peut être définie par une seule semi-norme. b) Montrer que la topologie d’un produit infini d’espaces localement convexes séparés (dont aucun n’est réduit à 0) ne peut être définie par une seule semi-norme. c) Soit E un espace localement convexe dont la topologie est définie par une suite croissante $(p_n)$ de semi-normes. Pour que la topologie de E puisse être définie par une seule semi-norme, il faut et il suffit qu’il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geq n_0$, il existe un nombre $k_n \geq 0$ tel que $p_n(x) \leq k_n p_{n_0}(x)$ pour tout $x \in E$.

d) Soit E l’espace vectoriel sur $\mathbf{R}$ des fonctions numériques indéfiniment dérivables dans l’intervalle $I = [0, 1]$. Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose $p_n(f) = \sup_{0 \leqslant k \leqslant n} (\sup_{x \in I} |f^{(k)}(x)|)$ (avec $f^{(0)} = f$) ; montrer que les $p_n$ sont des normes sur E et que la topologie définie par la suite des normes $p_n$ ne peut pas être définie par une seule norme.