Bài tập 2, § 1

a) Cho E là một không gian vectơ tôpô trái trên một trường tôpô rời rạc K. Chứng minh rằng nếu tồn tại một lân cận V của 0 trong E bị chặn (bài tập 1), thì các tập hợp $\lambda V$, với $\lambda \in K$ và $\lambda \neq 0$, tạo thành một hệ lân cận cơ bản của 0 trong E. Nếu K là mêtric hóa được, tôpô Hausdorff liên kết với tôpô của E (GT, III, § 2, No. 6) là mêtric hóa được. Nếu $K = \mathbf{R}$ hoặc $K = \mathbf{C}$, tôpô lồi địa phương trên E là tôpô mịn nhất trong các tôpô thô hơn tôpô đã cho trên E (II, p. 80, bài tập 23) có thể được xác định bởi một nửa chuẩn duy nhất. b) Chứng minh rằng tôpô của một tích vô hạn các không gian Hausdorff lồi địa phương (mà không có không gian nào chỉ là 0) không thể được xác định bởi một nửa chuẩn duy nhất. c) Cho E là một không gian lồi địa phương mà tôpô của nó được xác định bởi một dãy tăng $(p_n)$ các nửa chuẩn. Để tôpô của E được xác định bởi một nửa chuẩn duy nhất, điều kiện cần và đủ là tồn tại một số nguyên $n_0$ sao cho với mọi $n \geq n_0$ tồn tại một số $k_n \geq 0$ sao cho $p_n(x) \leq k_n p_{n_0}(x)$ với mọi $x \in E$. d) Cho E là không gian vectơ trên $\mathbf{R}$ gồm các hàm số khả vi vô hạn trên khoảng $I = (0, 1)$. Với mọi số nguyên $n \geq 0$, đặt $p_n(f) = \sup_{0 \leq k \leq n} (\sup_{x \in I} |f^{(k)}(x)|)$ (với f^{(0)} = f); chứng minh rằng các $p_n$ là các chuẩn trên E và rằng tôpô được xác định bởi dãy các chuẩn $p_n$ không thể được xác định bởi một chuẩn duy nhất.