Exercice 3, § 1

Soient E un espace vectoriel métrisable sur $\mathbf{R}$, $d$ une distance invariante par translation et compatible avec la topologie de E ; on pose $|x| = d(x, 0)$ (I, p. 16). Montrer que, pour tout entier $n > 0$, on a $\frac{1}{n} |x| \leqslant \left| \frac{x}{n} \right|$. En déduire que, si B est une partie bornée de E, on a $\sup_{x \in B} |x| < +\infty$ (autrement dit, B est bornée pour la distance $d$ (TG, IX, p. 14)). Donner un exemple d’espace vectoriel métrisable E et de partie non bornée dans E, mais bornée pour la distance $d$ (exerc. 2).