Bài tập 3, § 1

Cho E là một không gian vectơ mêtric hoá trên $\mathbf{R}$, d là một khoảng cách bất biến qua phép tịnh tiến, tương thích với tôpô của E. Cho $|x| = d(x, 0)$ (I, p. 16). Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n > 0$, ta có $\frac{1}{n} |x| \leq \left| \frac{x}{n} \right|$. Suy ra từ đó rằng nếu B là một tập con bị chặn của E, thì $\sup_{x \in B} |x| < +\infty$ (nói cách khác, B bị chặn đối với khoảng cách d (GT, IX, § 2, No. 3)). Hãy cho một ví dụ về một không gian vectơ mêtric hoá E và một tập không bị chặn trong E nhưng bị chặn đối với khoảng cách d (Bài tập 2).