Exercice 6, § 1

Soit E un espace localement convexe, limite inductive stricte d’une suite strictement croissante $(E_n)$ d’espaces localement convexes séparés, chaque $E_n$ étant fermé dans $E_{n+1}$ (II, p. 35, prop. 9). a) Montrer que E n’est pas métrisable (utiliser III, p. 5, prop. 6 et l’exerc. 5 précédent). b) Pour qu’il existe une base dénombrable de la bornologie canonique de E, il faut et il suffit que dans chaque $E_n$, la bornologie canonique de $E_n$ ait une base dénombrable.