Exercice 7, § 1

a) Soit E un espace de Banach de dimension infinie et soit $\mathscr{G}$ l’ensemble des parties compactes, convexes et équilibrées de E, qui est filtrant pour la relation $\subset$. Montrer que E est limite inductive du système inductif des espaces de Banach $E_A$, lorsque A parcourt $\mathscr{G}$. (Prouver par l’absurde qu’un voisinage V de 0 pour la topologie limite inductive des topologies des $E_A$ contient une boule de centre 0 ; remarquer pour cela que dans le cas contraire, il existerait une suite $(x_n)$ de points de E tels que $\| x_n \| \leqslant 1/n^2$, et qui n’appartiendraient pas à V.) En déduire qu’il y a dans E des parties bornées qui ne sont contenues dans aucun des $E_A$ pour $A \subset \mathscr{G}$.

b) Soit E un espace de Banach de dimension infinie. Sur l’espace vectoriel $\prod_{m=1}^\infty E_m$, où $E_m = E$ pour chaque m, on désigne par $\mathscr{T}_n$ la topologie obtenue en prenant le produit de la topologie d’espace de Banach sur chaque $E_m$ tel que $m \leqslant n$, et la topologie localement convexe la plus fine sur chaque $E_m$ tel que $m > n$ ; on désigne par $F_n$ l’espace localement convexe $\prod_{m=1}^\infty E_m$ muni de $\mathscr{T}_n$. Chaque application identique $F_n \to F_{n+1}$ est continue ; montrer que l’espace limite inductive du système inductif des $F_n$ est l’espace F obtenu en munissant $\prod_{m=1}^\infty E_m$ de la topologie produit des topologies d’espace de Banach sur chacun des facteurs. En déduire qu’il y a dans F des parties bornées qui ne sont bornées dans aucun des $F_n$.