Bài tập 7, § 1

a) Cho E là một không gian Banach vô hạn chiều và cho $\mathscr{S}$ là họ các tập con compact, lồi và cân bằng của E, là một tập có hướng đối với quan hệ $\subset$. Hãy chứng minh rằng E là giới hạn quy nạp của hệ quy nạp các không gian Banach $E_A$, trong đó A chạy qua $\mathscr{S}$. (Hãy chứng minh bằng phản chứng rằng một lân cận V của 0 đối với tôpô giới hạn quy nạp của các tôpô của $E_A$ chứa một quả cầu có tâm 0; về điều này, chú ý rằng nếu không thì sẽ tồn tại một dãy $(x_n)$ các điểm của E sao cho $\|x_n\| \leq 1/n^2$, và dãy này sẽ không thuộc V.) Suy ra từ đó rằng tồn tại các tập con bị chặn trong E không được chứa trong bất kỳ $E_A$ nào với $A \subset \mathscr{S}$.

b) Cho E là một không gian Banach vô hạn chiều. Trên không gian vectơ $\prod_{m=1}^\infty E_m$, trong đó $E_m = E$ với mỗi m, gọi $\mathscr{T}_n$ là tôpô thu được bằng cách lấy tích của tôpô không gian Banach trên mỗi $E_m$ với $m \leq n$, và với $m > n$, tôpô lồi địa phương mịn nhất trên $E_m$; $F_n$ là không gian lồi địa phương $\prod_{m=1}^\infty E_m$ với tôpô $\mathscr{T}_n$. Mọi ánh xạ đồng nhất $F_n \to F_{n+1}$ đều liên tục; hãy chứng minh rằng không gian giới hạn quy nạp của hệ quy nạp $F_n$ là không gian F thu được bằng cách gán cho $\prod_{m=1}^\infty E_m$ tôpô là tích của các tôpô không gian Banach trên mỗi nhân tố. Suy ra từ đó rằng có các tập con bị chặn trong F nhưng không bị chặn trong bất kỳ $F_n$ nào.