Exercice 9, § 1

Espaces vectoriels topologiques, III, p. 40

Soit E l’espace vectoriel sur $\mathbf{R}$ des fonctions réglées dans l’intervalle $I = [0, 1]$ (FVR, II, p. 4). Pour tout entier $n > 0$ , soit $V_n$ l’ensemble des fonctions $f \in E$ telles que

\int_0^1 \sqrt{|f(t)|} \, dt \leq 1/n.

Montrer que les ensembles

V_n

forment un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie métrisable compatible avec la structure d’espace vectoriel de E, et que pour cette topologie les ensembles

V_n

sont bornés ; mais l’enveloppe convexe de chaque

V_n

est l’espace E tout entier. (Remarquer que toute fonction

f \in E

peut s’écrire

f = \frac{1}{2}(g + h)

, où

g

h

appartiennent à E, et

\int_0^1 \sqrt{|g(t)|} \, dt = \int_0^1 \sqrt{|h(t)|} \, dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^1 \sqrt{|f(t)|} \, dt.

En déduire que la seule topologie localement convexe moins fine que la topologie de E est la topologie la moins fine sur E.

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.