Bài tập 9, § 1

Không gian vectơ tô pô, III, p. 38

Cho E là không gian vectơ trên $\mathbf{R}$ gồm tất cả các hàm điều hòa trên khoảng $I = [0, 1]$ (FVR, I, p. 4). Với mỗi số nguyên $n > 0$ , gọi $V_n$ là tập hợp tất cả các hàm $f \in E$ sao cho $\int_0^1 \sqrt{|f(t)|} \, dt \leq 1/n$ . Hãy chứng minh rằng các tập hợp $V_n$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 cho một tôpô mêtric được, tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E và rằng đối với tôpô này các tập hợp $V_n$ là bị chặn; nhưng bao lồi của mỗi $V_n$ là toàn bộ không gian E. (Nhận xét rằng mọi hàm $f \in E$ có thể được viết thành $f = \frac{1}{2}(g + h)$ , trong đó $g$ và $h$ thuộc E, và

\int_0^1 \sqrt{|g(t)|}\ dt = \int_0^1 \sqrt{|h(t)|}\ dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^1 \sqrt{|f(t)|}\ dt.)

Suy ra từ điều này rằng tôpô lồi địa phương duy nhất thô hơn tôpô của E là tôpô thô nhất trên E.

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.