Exercice 22, § 4

Soit E un espace de Banach de type dénombrable et de dimension infinie. a) Montrer que l’ensemble $\mathscr{K}$ des parties convexes, équilibrées et compactes A de E, telles que E_A soit de dimension infinie, est infini et a un cardinal $\leq 2^{\mathrm{Card}(\mathbf{N})}$ (TG, IX, p. 114, exerc. 17). Pour tout $x_0 \in E$ et tout $A \in \mathscr{K}$, l’ensemble $x_0 + A$ contient une partie libre de cardinal $2^{\mathrm{Card}(\mathbf{N})}$ (II, p. 85, exerc. 24, c)). b) Soit $x_0 \neq 0$ dans E. Montrer qu’il existe une famille $(y_A)_{A \in \mathscr{K}}$ telle que $x_0$ et les $y_A$ forment une famille libre et que l’on ait $y_A \in x_0 + A$ pour tout $A \in \mathscr{K}$ (bien ordonner $\mathscr{K}$ et raisonner par récurrence transfinie en utilisant a)).

c) Soit $f \in E^*$ une forme linéaire telle que $f(x_0) = 1$ et $f(y_A) = 0$ pour tout $A \in \mathscr{H}$, et soit $H = f^{-1}(0)$. Montrer que toute partie $M$ de $H$ qui est convexe, équilibrée et semi-complète, est nécessairement de dimension finie (remarquer que dans le cas contraire, $M$ contiendrait un ensemble $A$ convexe, équilibré et compact de dimension infinie, donc $y_A$ appartiendrait à $H \cap (x_0 + M)$).

d) Montrer que $H$, muni de la topologie induite par celle de $E$, n’est pas ultrabornologique, bien qu’étant bornologique et tonnelé (III, p. 46, exerc. 14). (En utilisant c), montrer que si $H$ était ultrabornologique, sa topologie serait la topologie localement convexe la plus fine, et en déduire une contradiction.)