(i) $\Rightarrow$ (ii) : sous les hypothèses de (i), posons $M = T^\circ$; alors M est convexe et équilibré dans E’. Pour tout $x \in E$, il existe un nombre réel $r > 0$ tel que $r.x \in T$, d’où $|u(x)| \leq \frac{1}{r}$ pour tout $u \in M$; autrement dit, M est faiblement borné. D’après le cor. 3 de II, p. 49, on a $T = M^\circ$, donc T satisfait à (ii).

(ii) $\Rightarrow$ (iii) : sous les hypothèses de (ii), posons $p(x) = \sup_{u \in M} |u(x)|$ pour tout $x \in E$.

Il est immédiat que $T = M^\circ$ se compose des $x \in E$ tels que $p(x) \leq 1$. La semi-norme p sur E’ est semi-continue inférieurement, comme enveloppe supérieure d’une famille de fonctions continues (TG, IV, p. 31, corollaire).

(iii) $\Rightarrow$ (i) : c’est clair.

En effet, soit T un tonneau dans E ; comme T est absorbant, E est réunion des ensembles fermés $nT$ ($n$ entier $> 0$) ; puisque E est un espace de Baire, un au moins de ces ensembles admet un point intérieur, donc T lui-même admet un point intérieur x. Si $x \neq 0$, comme on a $-x \in T$ et que 0 est un point du segment ouvert d’extrémités x et $-x$, 0 est un point intérieur de l’ensemble convexe T (II, p. 15, prop. 16). Donc T est un voisinage de 0.

Cela résulte du th. de Baire (TG, IX, p. 55, th. 1).

En effet, soit T un tonneau dans E. Comme $f_i$ est continue, $f_i^{-1}(T)$ est un ensemble convexe, fermé, équilibré et absorbant dans $F_i$, autrement dit un tonneau dans $F_i$; comme $F_i$ est tonnelé, $f_i^{-1}(T)$ est un voisinage de 0 dans $F_i$, pour tout $i \in I$, ce qui entraîne que T est un voisinage de 0 dans E (II, p. 29, prop. 5).

La condition est évidemment suffisante en vertu de la prop. 3 ; elle est nécessaire d’après le cor. 1, puisque chacun des $E_i$ est isomorphe à un espace quotient de E (II, p. 33, prop. 8).

On prouvera plus loin (IV, p. 14, corollaire) que tout produit d’espaces tonnelés est tonnelé.

En effet, soit $p$ une semi-norme continue sur $F$; posons $q = \sup_{u \in H} (p \circ u)$. Puisque $H$ est simplement bornée, on a $q(x) < +\infty$ pour tout $x \in E$ et $q$ est une semi-norme semi-continue inférieurement, comme enveloppe supérieure finie de semi-normes continues. Comme $E$ est tonnelé, $q$ est une semi-norme continue et $H$ est donc équicontinue.

En effet, l’hypothèse signifie que $H$ est simplement bornée et la conclusion qu’elle est équicontinue. De plus, tout espace de Banach est tonnelé (III, p. 25).

La suite $(u_n)$ est en effet simplement bornée, donc équicontinue et le corollaire résulte du cor. à la prop. 5 de III, p. 18.

Supposons d’abord que $\Phi$ contienne un ensemble simplement borné $H$; comme $H$ est équicontinu (th. 1), le corollaire résulte du cor. de la prop. 5 (III, p. 18). Si $\Phi$ admet une base dénombrable, tout filtre élémentaire $\Psi$ associé à une suite $(u_n)$ (TG, I, p. 42) plus fin que $\Phi$ est alors simplement convergent dans $E$ vers $u$ et il résulte du cor. 2 que $u$ est une application linéaire continue de $E$ dans $F$, et que $\Psi$ converge vers $u$ pour la topologie de la convergence uniforme dans les parties précompactes de $E$. Par suite, il en est de même de $\Phi$, puisque ce dernier est l’intersection des filtres élémentaires plus fins que lui (TG, I, p. 43).

On notera qu’un filtre sur $\mathscr{L}(E; F)$, qui converge simplement et admet une base dénombrable, ne contient pas nécessairement un ensemble simplement borné : c’est ce que montre l’exemple du filtre des voisinages de 0 dans $F = \mathscr{L}(K ; F)$ lorsque la topologie de $F$ est métrisable mais ne peut être définie par une seule norme.

En effet, toute partie bornée et fermée de $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E ; F)$ est simplement bornée (puisque $\mathfrak{S}$ est un recouvrement de $E$), donc équicontinue (III, p. 25, th. 1) et par suite est un sous-espace complet de $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E ; F)$ en vertu de la prop. 11 (III, p. 22).

Soit $A \in \mathfrak{S}$. L’espace $E_A$ est alors un espace de Banach (III, p. 8, corollaire), donc tonnelé. D’autre part, l’image canonique de $H$ dans $\mathscr{L}(E_A ; F)$ est simplement bornée, donc équicontinue (III, p. 25, th. 1). Par suite, l’ensemble des $u(x)$ pour $u \in H$ et $x \in A$ est borné dans $F$, ce qui montre que $H$ est bornée pour la $\mathfrak{S}$-topologie.

Il suffit d’appliquer le th. 2, quitte à remplacer les ensembles de $\mathscr{S}$ par leurs enveloppes convexes fermées, équilibrées, ce qui ne change pas la $\mathscr{S}$-topologie.

Lorsque E est semi-complet (par exemple quasi-complet), on peut donc parler de parties bornées de $\mathscr{L}(E ; F)$ sans préciser pour quelle $\mathscr{S}$-topologie, puisque celles-ci sont les mêmes pour toutes les $\mathscr{S}$-topologies dès que $\mathscr{S}$ est un recouvrement de E.

Toute partie simplement bornée de son dual est fortement bornée (cor. 1), donc équicontinue (III, p. 22, prop. 10).

Soit A une partie de E. Dire que A est bornée pour $\sigma(E, E')$ signifie que toute forme linéaire continue sur E est bornée sur A ; dire que A est bornée signifie que toute semi-norme continue sur E est bornée sur A. Soit N l’adhérence de 0 dans E et soit $\pi$ l’application canonique de E sur E/N. Les formes linéaires continues sur E sont les applications de la forme $f \circ \pi$ avec $f \in (E/N)'$ et l’on a une caractérisation analogue des semi-normes continues sur E. Quitte à remplacer E par E/N et A par $\pi(A)$, on peut donc se limiter au cas où E est séparé.

Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des parties équicontinues de E’ ; lorsque E’ est muni de $\sigma(E', E)$, E s’identifie à $(E')_{\mathscr{S}}$ (III, p. 19, cor. 1). Toute partie équicontinue fermée de E’ est compacte pour $\sigma(E', E)$ (III, p. 17, cor. 2), donc complète pour $\sigma(E', E)$. Il suffit donc d’appliquer le th. 2.