Compte tenu des remarques 1) et 2) ci-dessus, on voit qu’une condition nécessaire et suffisante pour que la $\mathfrak{S}\text{-topologie}$ soit compatible avec la structure d’espace vectoriel de H est que les ensembles $H \cap T(M, V)$ soient absorbants dans H (I, p. 7, prop. 4) ; or cela signifie que, pour tout $u \in H$, toute partie $M \in \mathfrak{S}$ et tout voisinage équilibré $V$ de 0 dans $F$, il existe $\lambda \neq 0$ tel que $u(M) \subset \lambda V$, c’est-à-dire (III, p. 2) que $u(M)$ soit bornée dans $F$. Enfin la dernière assertion de la proposition résulte de ce que, si $V$ est convexe, il en est de même de $T(M, V)$.

Il suffit de remarquer que, si $u$ est une application linéaire continue de E dans F et M une partie bornée de E, $u(M)$ est bornée dans F (III, p. 4, cor. 1).

Étant donnés deux espaces vectoriels localement convexes E et F, et un ensemble $\mathscr{S}$ de parties bornées de E, nous désignerons par $\mathscr{L}_{\mathscr{S}}(E ; F)$ l’espace localement convexe obtenu en munissant $\mathscr{L}(E ; F)$ de la $\mathscr{S}$-topologie.

1) Sur $\mathscr{L}(E; F)$, la $\mathfrak{S}$-topologie est identique à la $\tilde{\mathfrak{S}}$-topologie, où $\tilde{\mathfrak{S}}$ désigne la plus petite bornologie adaptée (III, p. 3) à E contenant $\mathfrak{S}$.

2) Supposons que $\{0\}$ ne soit pas dense dans F et soit $\mathfrak{S}'$ un autre ensemble de parties bornées de E. Pour que la $\mathfrak{S}'$-topologie soit moins fine que la $\mathfrak{S}$-topologie, il faut et il suffit que l’on ait $\mathfrak{S}' \subset \tilde{\mathfrak{S}}$.

Soient $u \in \mathscr{L}(E; F)$, $M \in \mathfrak{S}$, et soit $p$ une semi-norme continue sur F. Comme $p \circ u$ est une semi-norme continue sur E, il est équivalent de dire que $p \circ u$ est majorée par 1 dans M ou dans l’enveloppe fermée convexe équilibrée $\tilde{M}$ de M ; autrement dit, on a $p_M = p_{\tilde{M}}$. En outre, il est clair qu’on a $p_{\lambda M} = \lambda p_M$ pour $\lambda > 0$ et $p_{M \cup M'} = \sup(p_M, p_{M'})$, d’où la première assertion puisque $\tilde{\mathfrak{S}}$ admet pour base l’ensemble des homothétiques des enveloppes convexes équilibrées fermées de réunions finies d’ensembles de $\mathfrak{S}$.

Démontrons la deuxième assertion : tout d’abord, si F est le corps de base, il résulte de la définition que la $\tilde{\mathfrak{S}}$-topologie sur $E' = \mathscr{L}(E; F)$ admet pour système fondamental de voisinages de 0 l’ensemble des polaires des ensembles de $\tilde{\mathfrak{S}}$. Soit A une partie bornée de E, dont le polaire $A^\circ$ est un voisinage de 0 pour la $\tilde{\mathfrak{S}}$-topologie ; il existe donc $B \in \tilde{\mathfrak{S}}$ fermé, convexe et équilibré tel que $A^\circ \supset B^\circ$, d’où $A \subset B^{\circ \circ}$; mais d’après le cor. 3 de II, p. 49, on a $B^{\circ \circ} = B$, d’où $A \subset B$, et $A \in \tilde{\mathfrak{S}}$. Donc, si $\mathfrak{S}'$ est un ensemble de parties bornées de E, la $\mathfrak{S}'$-topologie est moins fine que la $\mathfrak{S}$-topologie sur $E'$ si et seulement si $\mathfrak{S}' \subset \tilde{\mathfrak{S}}$. Le cas général en résulte aussitôt, car si $y \in F$ n’est pas adhérent à 0, on vérifie immédiatement que l’application qui à $f \in E'$ fait correspondre l’application $x \mapsto f(x) y$ est un isomorphisme d’espaces localement convexes de $E_{\mathfrak{S}'}$ sur son image dans $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E; F)$.

Soit $u_0$ un élément non nul de $\mathscr{L}(E; F)$; comme $u_0$ est continue et A totale dans E, il existe $x_0$ dans A tel que $u_0(x_0) \neq 0$. Comme F est séparé, il existe un voisinage V de 0 dans F tel que $u_0(x_0) \notin V$. Soit $M \in \mathfrak{S}$ tel que $x_0 \in M$. Alors l’ensemble U des $u \in \mathscr{L}(E; F)$ telles que $u(M) \subset V$ est un voisinage de 0 dans $\mathscr{L}(E; F)$ et l’on a $u_0 \notin U$, donc $\mathscr{L}(E; F)$ est séparé.

En particulier, sur $\mathscr{L}(E ; F)$ les topologies suivantes sont séparées dès que F est séparé : la convergence simple, la convergence compacte, précompacte ou convexe compacte, et la convergence bornée.

(i) L’ensemble des applications linéaires de E dans F est fermé dans $F^E$.

(ii) Si H est une partie équicontinue de $\mathscr{L}(E; F)$, l’adhérence $\overline{H}$ de H dans $F^E$ est contenue dans $\mathscr{L}(E; F)$ et est équicontinue.

On sait que $\overline{H}$ est équicontinue (TG, X, p. 15). Tout revient à prouver l’assertion (i). Soient x, y dans E et $\lambda, \mu$ dans K, et soit $A(x, y, \lambda, \mu)$ l’ensemble des $u \in F^E$ telles que

Cet ensemble est fermé dans $F^E$ puisque l’application $u \mapsto u(x)$ de $F^E$ dans F est continue pour tout $x \in E$ et que F est séparé. Or l’ensemble des applications linéaires de E dans F est égal à

donc est fermé dans $F^E$.

En effet, cette condition est nécessaire et suffisante pour que $\overline{H}$ soit compacte dans $F^E$ (TG, I, p. 64).

En effet, si H est une partie équicontinue de $E'$, $\sup_{u \in H} |u|$ est une semi-norme continue sur E ; en particulier pour tout $x \in E$, l’ensemble $H(x)$ est borné, donc relativement compact dans le corps des scalaires.

En effet, cette boule est aussi fermée pour $\sigma(E', E)$.

1) la structure uniforme de la convergence simple dans T ; 2) la structure uniforme de la convergence simple dans E ; 3) la structure uniforme de la convergence dans les parties précompactes de E.

Rappelons (III, p. 15, prop. 2) que, dans $\mathscr{L}(E; F)$, la $\mathfrak{S}$-topologie coïncide avec la $\tilde{\mathfrak{S}}$-topologie où $\tilde{\mathfrak{S}}$ est la plus petite bornologie adaptée à E et contenant $\mathfrak{S}$.

Dans l’énoncé de la prop. 5, on peut donc remplacer le mot « totale » par « partout dense ». La proposition résulte alors des propriétés générales des ensembles équicontinu (TG, X, p. 16, th. 1).

La première assertion résulte de la prop. 4 (III, p. 16) et la seconde de la prop. 5 (III, p. 17).

Soit $(a_n)$ une suite totale dans $E$. L’application $u \mapsto (u(a_n))$ est alors un isomorphisme de $\mathscr{L}(E; F)$, muni de la structure uniforme de la convergence simple dans l’ensemble des $a_n$, sur un sous-espace uniforme de $\mathbf{F}^\mathbf{N}$. Si $F$ est métrisable (resp. métrisable de type dénombrable), il en est de même de $\mathbf{F}^\mathbf{N}$ (TG, IX, p. 15, cor. 2, et p. 19, corollaire), et la proposition résulte de la prop. 5 (III, p. 17).

Soient B la boule unité de F et $(V_n)$ un système fondamental dénombrable de voisinages de 0 dans E. Pour tout entier n, l’ensemble $H_n$ des $u \in \mathscr{L}(E; F)$ telles que $u(V_n) \subset B$ est équicontinu et $\mathscr{L}(E; F)$ est la réunion des $H_n$. Le corollaire résulte donc de la prop. 6.

Cela résulte de la prop. 6 et de III, p. 17, cor. 3.

Si M est équicontinue, il existe un voisinage convexe équilibré V de 0 tel que $|u(x)| \leq 1$ pour $x \in V$ et $u \in M$; on a donc $M \subset V^\circ$ et (i) entraîne (ii). Avec les mêmes notations, si $M \subset V^\circ$, on a $V \subset V^{\circ\circ} \subset M^\circ$ et (ii) entraîne (iii). Enfin, si $M^\circ$ contient un voisinage convexe équilibré V de 0, on a $M \subset M^{\circ\circ} \subset V^\circ$ et les relations $x \in \varepsilon V$, $u \in M$ entraînent $|u(x)| \leq \varepsilon$, pour tout $\varepsilon > 0$, ce qui montre que (iii) entraîne (i).

Remarquons que tout $x \in E$ définit une application $j(x): u \mapsto u(x)$ de $E'$ dans K. On peut donc parler de la $\mathfrak{S}$-topologie sur E, lorsque $\mathfrak{S}$ est un ensemble de parties de $E'$; c’est l’image réciproque par j de la $\mathfrak{S}$-topologie sur $K^{E'}$. On vérifie aussitôt que si $\mathfrak{S}$ est une bornologie convexe sur $E'$, un système fondamental de voisinages de 0 pour la $\mathfrak{S}$-topologie sur E est formé des polaires des ensembles de $\mathfrak{S}$. Il en est en particulier ainsi lorsque $\mathfrak{S}$ est l’ensemble des parties équicontinues de $E'$ et la prop. 7 entraîne :

Plus généralement, soit F un espace localement convexe ; toute $u \in \mathscr{L}(E; F)$ définit une application $j(u) : (x, f) \mapsto f(u(x))$ de $E \times F'$ dans $K$ (c’est-à-dire dans $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$). Ceci permet de définir dans l’espace $\mathscr{L}(E; F)$ la topologie de la convergence uniforme dans un ensemble de parties de $E \times F'$. En particulier :

En effet, pour tout $u \in \mathscr{L}(E; F)$, tout $A \in \mathfrak{S}$ et tout voisinage $V$ convexe, équilibré et fermé de $0$ dans $F$, la relation $u(A) \subset V$ est équivalente à « $j(u)(A \times V^\circ)$ est contenu dans la boule unité de $K$ ».

Il est évident que la condition est nécessaire. Supposons-la vérifiée et soit $V$ un voisinage convexe, équilibré et fermé de $0$ dans $F$. Puisque $V^\circ$ est équicontinu, il existe un voisinage $W$ de $0$ dans $E$ tel que $|f(u(x))| \leq 1$ pour $x \in W, u \in H$ et $f \in V^\circ$; autrement dit, on a $u(W) \subset V^{\circ \circ} = V$ pour tout $u \in H$ et $H$ est donc équicontinu.

Comme toute limite simple de formes linéaires sur $E$ est une forme linéaire (III, p. 16, prop. 4) et que la bornologie $\mathfrak{S}$ est couvrante, il résulte de TG, X, p. 9, cor. 2 que l’espace $F$, muni de la $\mathfrak{S}$-topologie, est séparé et complet. Il est clair que $E'_\mathfrak{S}$ est un sous-espace vectoriel topologique de $F$; il suffit donc de prouver que $E'_\mathfrak{S}$ est partout dense dans $F$, ce qui résulte du lemme suivant :

Soit en effet $\varepsilon > 0$. Il existe un voisinage convexe, équilibré et fermé $U$ de $0$ dans $E$ tel que $|u(x)| \leq \varepsilon$ pour tout $x \in U \cap A$. On sait que le polaire $U^\circ$ de $U$ dans $E^*$ est contenu dans $E'$ et est compact pour la topologie $\sigma(E^*, E)$ (III, p. 17, cor. 2). Comme le polaire $A^\circ$ de $A$ dans $E^*$ est fermé pour $\sigma(E^*, E)$, il en résulte que $A^\circ + U^\circ$ est une partie convexe fermée de $E^*$ (TG, III, p. 28, cor. 1).

Soit $C$ une partie convexe, équilibrée et fermée de $E$. Alors, $C$ est fermée pour σ(E, E') (II, p. 49, cor. 3), donc aussi pour σ(E, E*), et on a par suite C = C°° (pour la dualité entre E et E*). Par suite, on a

d’où

Comme la forme linéaire $\varepsilon^{-1}u$ appartient à $(A \cap U)^°$, il existe donc $v \in A°$ et $w \in U°$ tels que $u = \varepsilon(v + w)$. Alors $x' = \varepsilon w$ appartient à $E'$ et $u - x' = \varepsilon v$ est majorée en valeur absolue par $\varepsilon$ sur $A$, d’où le lemme.

Soit maintenant $E$ un espace localement convexe séparé, et soit $\hat{E}$ son complété. Toute forme linéaire $f$ continue sur $E$ se prolonge par continuité à $\hat{E}$; on a donc $(\hat{E})' = E'$ (III, p. 16) et tout élément de $\hat{E}$ définit une forme linéaire sur $E'$, c’est-à-dire un élément du dual algébrique ${E'}^*$ de $E'$. De plus, la dualité entre $E$ (resp. $\hat{E}$) et $E'$ est séparante (II, p. 26, cor. 1). Par suite $E$ et $\hat{E}$ s’identifient à des sous-espaces vectoriels de ${E'}^*$.

L’espace $E$ s’identifie au dual topologique de $E'$ lorsqu’on munit $E'$ de la topologie $\sigma(E', E)$ (II, p. 46, prop. 3) ; d’autre part, si $\mathscr{S}$ est l’ensemble des parties équicontinues de $E'$, la topologie donnée sur $E$ est la $\mathscr{S}$-topologie (III, p. 19, cor. 1). Il résulte alors de III, p. 13, prop. 1, que les ensembles de $\mathscr{S}$ sont bornés pour $\sigma(E', E)$ (cf. plus loin, III, p. 22, prop. 9), autrement dit $\mathscr{S}$ est une bornologie adaptée et couvrante pour la topologie $\sigma(E', E)$. Le th. 2 est alors conséquence du th. 1, où l’on remplace $E$ par $E'$ et $E'_\mathscr{S}$ par $E$.

Corollaire 1 (Banach). — Soit E un espace localement convexe séparé et complet. Pour qu’une forme linéaire sur $E'$ soit continue pour la topologie faible $\sigma(E', E)$ (c’est-à-dire provienne d’un élément de $E$), il suffit que sa restriction à toute partie équicontinue de $E'$ soit continue pour $\sigma(E', E)$.

On sait que le dual de E s’identifie au produit des duals des $E_i$ (II, p. 33, formule (1)). Soit $u \in \hat{E}$ et soit $u_i \in E'_i*$ la restriction de $u$ (considérée comme élément de $E'(*)$) à $E'_i \subset E'$. Il est immédiat qu’il suffit de démontrer que $u_i = 0$ sauf pour un nombre fini d’indices $i \in I$. Supposons au contraire qu’il existe une suite $(i_n)_{n \in \mathbf{N}}$ d’indices distincts telle que $u_{i_n} \neq 0$. Il existe alors $x_{i_n} \in E'_{i_n}$ telle que $u_{i_n}(x_{i_n}) = n$. L’ensemble $H$ des $x_{i_n}$ est équicontinu dans $E'$ et la restriction de $u$ à $H$ n’est pas bornée, ce qui est impossible.

En effet, si $H$ est une partie équicontinue de $\mathscr{L}(E ; F)$ et $V$ un voisinage de 0 dans $F$, l’ensemble $\bigcap_{u \in H} u^{-1}(V)$ est un voisinage de 0 dans $E$, donc absorbe toute partie bornée de $E$.

Une partie de $\mathscr{L}(E ; F)$ qui est bornée pour une $\mathscr{S}$-topologie n’est pas nécessairement équicontinue, même si $\mathscr{S}$ est couvrante et même si $\mathscr{S}$ est la bornologie canonique de $E$ (IV, p. 50, exerc. 17). Nous étudierons au paragraphe suivant sous le nom d’espaces tonnelés les espaces $E$ tels que toute partie simplement bornée de $\mathscr{L}(E ; F)$ soit équicontinue. Notons dès maintenant le résultat suivant :

En effet, pour tout voisinage convexe équilibré $V$ de 0 dans $F$, l’ensemble $\bigcap_{u \in H} u^{-1}(V)$ absorbe toute partie bornée de $E$, donc est un voisinage de 0 dans $E$, ce qui prouve que $H$ est équicontinue.

Comme $H$ est bornée dans $\mathscr{L}_\mathfrak{S}(E; F)$ (III, p. 22, prop. 9) et fermée dans $F^E$ pour la $\mathfrak{S}$-topologie (III, p. 16, prop. 4), cela résulte du cor. 3 de TG, X, p. 7.

En effet, en vertu de la prop. 5 (III, p. 17), $\Phi$ est un filtre de Cauchy pour la structure uniforme de la convergence précompacte dans $E$; d’après la prop. 11, l’adhérence $\overline{H}$ de $H$ dans $\mathscr{L}_{pc}(E; F)$ est complète et $\Phi$ converge donc uniformément sur toute partie précompacte de $E$ vers une application $u \in \overline{H}$.