(i) u est continue ; (ii) l’image par u de la boule unité de G est bornée dans E ; (iii) pour toute suite $(x_n)$ de points de G tendant vers 0, la suite $(u(x_n))$ est bornée dans E.

Il est immédiat que (i) entraîne (ii) (III, p. 4, cor. 1) et que (ii) entraîne (iii). Soit maintenant V un voisinage de 0 dans E ; si $u^{-1}(V)$ n’est pas un voisinage de 0 dans G, il existe une suite $(y_n)$ de points de G – $u^{-1}(V)$ telle que $p(y_n) \leqslant \frac{1}{n^2}$. Alors la suite des $x_n = ny_n$ tend vers 0 dans G et $u(x_n) \notin nV$, ce qui entraîne que la suite $(u(x_n))$ n’est pas bornée. Par suite (iii) entraîne (i).

(i) Toute semi-norme sur E qui est bornée sur les parties bornées de E est continue. (i bis) Toute partie convexe équilibrée de E qui absorbe les parties bornées de E (I, p. 7, déf. 4) est un voisinage de 0 dans E. (ii) E est limite inductive des espaces semi-normés $E_A$ quand A décrit l’ensemble filtrant croissant des parties convexes, équilibrées, fermées et bornées de E. (ii bis) Il existe une famille $(E_i)_{i \in I}$ d’espaces semi-normés et, pour chaque $i \in I$, une application linéaire $u_i : E_i \to E$ telles que la topologie de E soit la topologie localement convexe la plus fine rendant les $u_i$ continues. (iii) Quel que soit l’espace localement convexe F, une application linéaire $u : E \to F$ est continue si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ de points de E tendant vers 0, la suite $(u(x_n))$ est bornée dans F.

(iii bis) Quel que soit l’espace semi-normé F, une application linéaire u : E → F est continue si et seulement si u(X) est borné dans F pour tout ensemble X borné dans E.

Il est immédiat que (i) et (i bis) sont équivalentes, vu la correspondance entre semi-normes et parties convexes équilibrées absorbantes (II, p. 22). Si p est une semi-norme sur E, continue sur chaque E_A, alors p est bornée sur les parties bornées de E ; donc (i) entraîne (ii) (II, p. 29, prop. 5). Il est clair que (ii) entraîne (ii bis).

Soit maintenant (E_i, u_i)_{i \in I} comme dans (ii bis), et soit u une application linéaire de E dans un espace localement convexe F, telle que (u(x_n)) soit bornée dans F pour toute suite (x_n) de points de E tendant vers 0. Il résulte du lemme 1 de III, p. 11 que l’application linéaire u o u_i : E_i → F est continue quelle que soit i ∈ I ; donc, si la topologie de E est la topologie localement convexe la plus fine rendant les u_i continues, u est continue (II, p. 29, prop. 5). Ceci montre que (ii bis) entraîne (iii).

Il est immédiat que (iii) entraîne (iii bis) (III, p. 3, corollaire). Enfin, si p est une semi-norme sur E, bornée sur les parties bornées de E, la condition (iii bis) affirme que l’application identique est continue de E dans l’espace semi-normé (E, p) ; autrement dit p est continue. Ceci montre que (iii bis) entraîne (i).

En effet, les espaces E_A où A est borné et fermé sont alors des espaces de Banach (III, p. 8, corollaire).

Supposons E métrisable, et soit p une semi-norme sur E, bornée sur les parties bornées de E. Supposons que p ne soit pas continue et soit A l’ensemble des x ∈ E tels que p(x) < 1. Soit (V_n)_{n \geq 1} une suite décroissante formant un système fondamental de voisinages de 0 dans E. Comme p n’est pas continue, A n’est pas un voisinage de 0 ; pour tout $n > 0$, on a donc $A \not\supseteq n^{-1}V_n$ et il existe un point $x_n$ de $V_n$ tel que $n^{-1}x_n \notin A$, c’est-à-dire $p(x_n) \geq n$. La suite $(x_n)$ tend vers 0, donc est bornée (III, p. 3, corollaire) ; ceci contredit l’hypothèse sur $p$.