(i) u liên tục ; (ii) ảnh của quả cầu đơn vị của G qua u là bị chặn trong E ; (iii) với mọi dãy $(x_n)$ các điểm của G hội tụ về 0, dãy $(u(x_n))$ bị chặn trong E.

Ngay lập tức thấy rằng (i) kéo theo (ii) (III, p. 4, hệ quả 1) và (ii) kéo theo (iii). Cho V là một lân cận của 0 trong E ; nếu $u^{-1}(V)$ không phải là một lân cận của 0 trong G, thì tồn tại một dãy $(y_n)$ các điểm của $G - u^{-1}(V)$ sao cho $p(y_n) \leq \frac{1}{n^2}$. Do đó dãy $x_n = n y_n$ hội tụ về 0 trong G và $u(x_n) \notin nV$, điều này kéo theo dãy $(u(x_n))$ không bị chặn. Vậy (iii) kéo theo (i).

Mệnh đề 1. — Các điều kiện sau là tương đương : (i) Mọi nửa chuẩn trên E bị chặn trên các tập con bị chặn của E đều liên tục. (i') Mọi tập con lồi cân bằng của E hấp thụ các tập con bị chặn của E (I, p. 7, định nghĩa 4) đều là một lân cận của 0 trong E. (ii) E là giới hạn quy nạp của các không gian nửa chuẩn $E_A$, trong đó A chạy qua tập có hướng tăng của các tập con đóng, lồi, cân bằng và bị chặn của E. (ii') Tồn tại một họ $(E_i)_{i \in I}$ các không gian nửa chuẩn, và với mọi $i \in I$, một ánh xạ tuyến tính $u_i : E_i \to E$ sao cho tôpô của E là tôpô lồi địa phương mịn nhất mà đối với nó các $u_i$ liên tục. (iii) Với một không gian lồi địa phương F tùy ý, một ánh xạ tuyến tính $u : E \to F$ là liên tục khi và chỉ khi với mọi dãy $(x_n)$ các điểm trong E hội tụ về 0, dãy $(u(x_n))$ bị chặn trong F.

(iii') Với một không gian nửa chuẩn F tùy ý, một ánh xạ tuyến tính u : E → F là liên tục khi và chỉ khi u(X) bị chặn trong F với mọi tập bị chặn X trong E.

Ngay lập tức thấy rằng (i) và (i') là tương đương do sự tương ứng giữa các nửa chuẩn và các tập con lồi, cân bằng, hấp thụ (II, p. 20). Nếu p là một nửa chuẩn trên E, liên tục trên mỗi $E_A$, thì p bị chặn trên các tập con bị chặn của E; do đó (i) kéo theo (ii) (II, p. 27, mệnh đề 5). Hiển nhiên là (ii) kéo theo (ii').

Bây giờ cho $(E_i, u_i)_{i \in I}$ như trong (ii') và cho u là một ánh xạ tuyến tính từ E vào một không gian lồi địa phương F, sao cho $(u(x_n))$ bị chặn trong F với mọi dãy $(x_n)$ các điểm của E hội tụ về 0. Theo bổ đề 1 của III, p. 11 suy ra rằng ánh xạ tuyến tính $u \circ u_i : E_i \to F$ là liên tục với mọi $i \in I$. Do đó, nếu tôpô của E là tôpô lồi địa phương mịn nhất mà đối với nó các $u_i$ liên tục, thì u liên tục (II, p. 27, mệnh đề 5). Điều này chứng minh rằng (ii') kéo theo (iii).

Ngay lập tức thấy rằng (iii) kéo theo (iii') (III, p. 3, hệ quả.) Sau cùng, nếu p là một nửa chuẩn trên E, bị chặn trên các tập con bị chặn của E, thì điều kiện (iii') khẳng định rằng ánh xạ đồng nhất là liên tục từ E vào không gian nửa chuẩn (E, p); nói cách khác, p liên tục. Điều này chứng minh rằng (iii') kéo theo (i).

Thật vậy, các không gian $E_A$, trong đó A đóng và bị chặn, là các không gian Banach (III, p. 8, hệ quả).

Giả sử E khả mêtric, và p là một nửa chuẩn trên E bị chặn trên các tập con bị chặn của E, nhưng không liên tục. Cho A là tập hợp tất cả các $x \in E$ sao cho $p(x) < 1$. Cho $(V_n)_{n \geq 1}$ là một dãy giảm lập thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 trong E. Vì p không liên tục, A không phải là một lân cận của 0; do đó với mọi $n > 0$, ta có $A \not\supseteq n^{-1} V_n$ và tồn tại một điểm $x_n$ trong $V_n$, sao cho $n^{-1} x_n \notin A$, nghĩa là $p(x_n) \geq n$. Dãy $(x_n)$ hội tụ về 0, nên bị chặn (III, p. 3, hệ quả); điều này mâu thuẫn với giả thiết về p.