Theo các Nhận xét 1) và 2) ở trên, ta thấy rằng điều kiện cần và đủ để $\mathfrak{S}$*-tôpô* tương thích với cấu trúc không gian vectơ của H là các tập hợp $H \cap T(M, V)$ là hấp thụ trong H (I, p. 7, mệnh đề 4); nhưng điều này kéo theo rằng với mọi $u \in H$, mọi tập con $M \in \mathfrak{S}$, và mọi lân cận cân bằng V của 0 trong F, tồn tại $\lambda \neq 0$ sao cho $u(M) \subset \lambda V$; nghĩa là (III, p. 2) $u(M)$ bị chặn trong F. Sau cùng, khẳng định cuối cùng của mệnh đề suy ra từ sự kiện rằng nếu V lồi thì $T(M, V)$ cũng lồi.

Chỉ cần nhận xét rằng nếu $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F và M là một tập con bị chặn của E, thì $u(M)$ bị chặn trong F (III, p. 4, hệ quả 1).

Cho hai không gian vectơ lồi địa phương E và F, và một họ $\mathfrak{S}$ các tập con bị chặn của E, ký hiệu $\mathscr{L}_\mathfrak{S}(E; F)$ không gian lồi địa phương thu được khi trang bị cho $\mathscr{L}(E; F)$ $\mathfrak{S}$*-tôpô*.

1) Tôpô $\mathfrak{S}$ trên $\mathscr{L}(E; F)$ đồng nhất với tôpô $\tilde{\mathfrak{S}}$, trong đó $\tilde{\mathfrak{S}}$ ký hiệu bornology thích nghi nhỏ nhất (III, p. 3) trên E chứa $\mathfrak{S}$.

2) Giả sử rằng $\{0\}$ không trù mật trong F và cho $\mathfrak{S}'$ là một tập hợp khác các tập con bị chặn của E. Khi đó tôpô $\mathfrak{S}'$ thô hơn tôpô $\mathfrak{S}$ nếu và chỉ nếu $\mathfrak{S}' \subset \tilde{\mathfrak{S}}$.

Cho $u \in \mathscr{L}(E; F)$, $M \in \mathfrak{S}$ và cho $p$ là một nửa chuẩn liên tục trên F. Vì $p \circ u$ là một nửa chuẩn liên tục trên E, điều này tương đương với việc nói rằng $p \circ u$ bị chặn trên bởi 1 trên M hoặc trên bao đóng, lồi, cân bằng $\tilde{M}$ của M; nói cách khác, ta có $p_M = p_{\tilde{M}}$. Hơn nữa, rõ ràng là ta có $p_{\lambda M} = \lambda p_M$ với mọi $\lambda > 0$ và $p_{M \cup M'} = \sup(p_M, p_{M'})$, từ đó suy ra mệnh đề thứ nhất, vì $\tilde{\mathfrak{S}}$ có tập hợp các vị tự của các bao đóng lồi cân bằng của các hợp hữu hạn những tập hợp của $\mathfrak{S}$ làm một cơ sở.

Bây giờ chứng minh mệnh đề thứ hai : trước hết, nếu F là trường cơ sở, thì từ định nghĩa suy ra rằng tôpô $\tilde{\mathfrak{S}}$ trên $E' = \mathscr{L}(E; F)$ có, như một hệ lân cận cơ bản của 0, tập hợp các cực của những tập hợp thuộc $\tilde{\mathfrak{S}}$. Cho A là một tập con bị chặn của E, mà cực $A^\circ$ của nó là một lân cận của 0 đối với tôpô $\tilde{\mathfrak{S}}$; khi đó tồn tại một tập đóng, lồi, cân bằng $B \in \tilde{\mathfrak{S}}$ sao cho $A^\circ \supset B^\circ$, và do đó $A \subset B^{\circ \circ}$; nhưng theo hệ quả 3 của II, p. 45, ta có $B^{\circ \circ} = B$, vì thế $A \subset B$ và $A \in \tilde{\mathfrak{S}}$. Vậy nếu $\mathfrak{S}'$ là một tập hợp các tập con bị chặn của E, thì tôpô $\mathfrak{S}'$ thô hơn tôpô $\mathfrak{S}$ trên $E'$ nếu và chỉ nếu $\mathfrak{S}' \subset \tilde{\mathfrak{S}}$. Trường hợp tổng quát suy ra ngay lập tức, vì nếu $y \in F$ không thuộc bao đóng của 0, thì ta có thể kiểm tra rằng ánh xạ làm cho $f \in E'$ tương ứng với ánh xạ $x \mapsto f(x)\ y$ là một đẳng cấu của các không gian lồi địa phương $E'_\mathfrak{S}$ lên ảnh của nó trong $\mathscr{L}_{\tilde{\mathfrak{S}}}(E; F)$.

Cho $u_0$ là một phần tử khác không của $\mathscr{L}(E; F)$; vì $u_0$ liên tục và A là toàn phần trong E, nên tồn tại một $x_0$ trong A sao cho $u_0(x_0) \neq 0$. Vì F là Hausdorff, nên tồn tại một lân cận V của 0 trong F sao cho $u_0(x_0) \notin V$. Cho $M \in \mathfrak{S}$ sao cho $x_0 \in M$. Khi đó tập hợp U của tất cả $u \in \mathscr{L}(E; F)$ sao cho $u(M) \subset V$ là một lân cận của 0 trong $\mathscr{L}(E; F)$, và ta có $u_0 \notin U$, do đó $\mathscr{L}(E; F)$ là Hausdorff.

Đặc biệt, các tôpô sau trên $\mathscr{L}(E; F)$ là Hausdorff mỗi khi F là Hausdorff : hội tụ đơn, hội tụ compact, hội tụ tiền compact hoặc compact lồi, và hội tụ bị chặn.

(i) Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào F là đóng trong $F^E$.

(ii) Nếu H là một tập con đẳng liên tục của $\mathscr{L}(E; F)$, thì bao đóng $\overline{H}$ của H trong $F^E$ được chứa trong $\mathscr{L}(E; F)$ và là đẳng liên tục.

Ta biết rằng $\overline{H}$ là đẳng liên tục (GT, X, § 2, No. 3, prop. 6). Còn phải chứng minh mệnh đề (i). Cho x, y thuộc E và $\lambda, \mu$ thuộc K, và gọi $A(x, y, \lambda, \mu)$ là tập hợp mọi $u \in F^E$ sao cho

Tập hợp này đóng trong $F^E$ vì ánh xạ $u \mapsto u(x)$ từ $F^E$ vào F là liên tục với mọi $x \in E$ và vì F là Hausdorff. Nhưng tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào F bằng

Vậy tập hợp này đóng trong $F^E$.

Thật vậy, điều kiện này là điều kiện cần và đủ để $\overline{H}$ là compắc trong $F^E$ (GT, I, § 9, No. 5, cor.).

Thật vậy, nếu H là một tập con đồng liên tục của $E'$, thì $\sup_{u \in H} |u|$ là một nửa chuẩn liên tục trên E; đặc biệt, với mọi $x \in E$, tập $H(x)$ bị chặn, nên tương đối compắc trong trường vô hướng.

Quả cầu này cũng đóng đối với $\sigma(E', E)$.

1) cấu trúc đều của hội tụ đơn giản trên T; 2) cấu trúc đều của hội tụ đơn giản trên E; 3) cấu trúc đều của hội tụ trên các tập con tiền compắc của E.

Ta nhắc lại (III, p. 15, mệnh đề 2) rằng tôpô $\mathfrak{S}$ trên $\mathscr{L}(E; F)$ trùng với tôpô $\tilde{\mathfrak{S}}$, trong đó $\tilde{\mathfrak{S}}$ là bornology nhỏ nhất thích nghi với E và chứa $\mathfrak{S}$.

Do đó, trong mệnh đề 5, ta có thể thay từ « toàn phần » bằng « trù mật khắp nơi ». Khi đó mệnh đề suy ra từ các tính chất tổng quát của các tập đồng liên tục (GT, X, § 2, No. 4, định lý 1).

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ mệnh đề 4 (III, p. 16) và mệnh đề thứ hai suy ra từ mệnh đề 5 (III, p. 17).

Cho $(a_n)$ là một dãy toàn phần trong E. Khi đó ánh xạ $u \mapsto (u(a_n))$ là một đẳng cấu từ $\mathscr{L}(E; F)$, trong đó $\mathscr{L}(E; F)$ có cấu trúc đều của hội tụ đơn giản trên tập các $a_n$, lên một không gian con đều của $F^\mathbf{N}$. Nếu F khả mêtric (resp. khả mêtric và thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất) thì điều này cũng đúng với $F^\mathbf{N}$ (GT, IX, § 2, No. 4, hệ quả 2 và § 2, No. 8, hệ quả), và mệnh đề suy ra từ mệnh đề 5 (III, p. 17).

Cho B là quả cầu đơn vị của F và $(V_n)$ là một hệ cơ bản đếm được các lân cận của 0 trong E. Với mọi số nguyên n, tập $H_n$ gồm mọi $u \in \mathscr{L}(E; F)$ sao cho $u(V_n) \subset B$ là đồng liên tục và $\mathscr{L}(E; F)$ là hợp của các $H_n$. Khi đó hệ quả suy ra từ mệnh đề 6.*

Điều này suy ra từ mệnh đề 6 và từ III, p. 17, hệ quả 3.

(i) $M$ là đồng liên tục ; (ii) $M$ được chứa trong cực của một lân cận của 0 trong E ; (iii) cực của M là một lân cận của 0 trong E.

Nếu M đồng liên tục, thì tồn tại một lân cận lồi cân bằng V của 0 sao cho $|u(x)| \leq 1$ với mọi $x \in V$ và mọi $u \in M$; khi đó ta có $M \subset V^\circ$ và (i) kéo theo (ii). Với cùng các ký hiệu đó, nếu $M \subset V^\circ$ thì $V \subset V^{\circ\circ} \subset M^\circ$ và (ii) kéo theo (iii). Sau hết, nếu $M^\circ$ chứa một lân cận lồi cân bằng V của 0, thì $M \subset M^{\circ\circ} \subset V^\circ$ và các hệ thức $x \in \varepsilon V,\ u \in M$ kéo theo $|u(x)| \leq \varepsilon$ với mọi $\varepsilon > 0$, điều này chứng tỏ rằng (iii) kéo theo (i).

Ta nhận xét rằng mỗi $x \in E$ xác định một ánh xạ $j(x): u \mapsto u(x)$ từ $E'$ vào K. Do đó ta có thể nói đến tôpô $\mathscr{S}$ trên E, trong đó $\mathscr{S}$ là một họ các tập con của $E'$: đó là ảnh ngược qua $j$ của tôpô $\mathscr{S}$ trên $K^{E'}$. Ta kiểm tra ngay lập tức rằng nếu $\mathscr{S}$ là một bornology lồi trên $E'$, thì các đối cực của các tập thuộc $\mathscr{S}$ tạo thành một hệ lân cận cơ bản của 0 đối với tôpô $\mathscr{S}$ trên E. Điều này xảy ra, đặc biệt, khi $\mathscr{S}$ là họ các tập con đẳng liên tục của $E'$, và mệnh đề 7 kéo theo:

Tổng quát hơn, cho F là một không gian lồi địa phương; mỗi $u \in \mathscr{L}(E; F)$ xác định một ánh xạ $j(u):(x, f) \mapsto f(u(x))$ từ $E \times F'$ vào K (tức là vào $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$). Điều này cho phép ta định nghĩa, trên không gian $\mathscr{L}(E; F)$, tôpô hội tụ đều trên một tập hợp các tập con của $E \times F'$. Đặc biệt:

Với mọi $u \in \mathscr{L}(E; F)$, mọi $A \in \mathscr{S}$ và mọi lân cận đóng lồi cân bằng V của 0 trong F, quan hệ $u(A) \subset V$ tương đương với « $j(u)(A \times V^\circ)$ được chứa trong quả cầu đơn vị của K ».

Hiển nhiên điều kiện là cần. Giả sử nó được thỏa mãn, và cho V là một lân cận đóng lồi cân bằng của 0 trong F. Vì V^\circ là đẳng liên tục, tồn tại một lân cận W của 0 trong E sao cho |f(u(x))| \leq 1 với mọi x \in W, u \in H và f \in V^\circ; nói cách khác, u(W) \subset V^{\circ\circ} = V với mọi u \in H, do đó H là đẳng liên tục.

Vì mọi giới hạn đơn của các dạng tuyến tính trên E đều là một dạng tuyến tính (III, p. 16, mệnh đề 4) và vì bornology \mathscr{S} trên E là phủ, suy ra từ GT, X, § 1, No. 6, hệ quả 2 rằng không gian F với tôpô \mathscr{S} là Hausdorff và đầy đủ. Rõ ràng E'_\mathscr{S} là một không gian con vectơ tôpô của F; do đó chỉ cần chứng minh rằng E'_\mathscr{S} trù mật trong F. Điều này suy ra từ bổ đề sau:

Cho \varepsilon > 0. Tồn tại một lân cận đóng lồi cân bằng U của 0 trong E sao cho |u(x)| \leq \varepsilon với mọi x \in U \cap A. Ta biết rằng đối cực U^\circ của U trong E* được chứa trong E' và compact đối với tôpô \sigma(E^*, E) (III, p. 17, hệ quả 2). Vì đối cực A^\circ của A trong E* là đóng đối với \sigma(E^*, E), suy ra A^\circ + U^\circ là một tập con lồi đóng của E* (GT, III, § 4, No. 1, hệ quả 1).

Cho C là một tập con đóng lồi cân bằng của E. Khi đó C là đóng đối với \sigma(E, E') (II, p. 45, hệ quả 3), nên cũng đóng đối với \sigma(E, E^*), và do đó ta có C = C^{\circ\circ} (đối với đối ngẫu giữa E và E*). Kết quả là, ta có

từ đó suy ra

Vì dạng tuyến tính \varepsilon^{-1}u thuộc (A \cap U)^\circ, tồn tại v \in A^\circ và w \in U^\circ sao cho u = \varepsilon(v + w). Do đó x' = \varepsilon w thuộc E' và u - x' = \varepsilon v bị chặn trên theo trị tuyệt đối bởi \varepsilon trên A; suy ra bổ đề.

Bây giờ cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff và \hat{E} là đầy đủ hóa của nó. Mọi dạng tuyến tính liên tục f trên E đều kéo dài lên \hat{E} theo tính liên tục; do đó ta có (\hat{E})' = E'

(III, p. 16) và mọi phần tử của $\hat{E}$ xác định một dạng tuyến tính trên $E'$; nghĩa là, một phần tử của đối ngẫu đại số ${E'}^*$ của $E'$. Ngoài ra, đối ngẫu giữa $E$ (tương ứng $\hat{E}$) và $E'$ là tách được (II, p. 24, hệ quả 1). Do đó $E$ và $\hat{E}$ có thể được đồng nhất với các không gian con vectơ của ${E'}^*$.

Không gian $E$ có thể được đồng nhất với đối ngẫu tôpô của $E'$ khi gán cho $E'$ tôpô $\sigma(E', E)$ (II, p. 43, mệnh đề 3); mặt khác, nếu $\mathscr{S}$ là tập hợp các tập con đồng liên tục của $E'$, thì tôpô đã cho trên $E$ là tôpô $\mathscr{S}$ (III, p. 19, hệ quả 1). Khi đó suy ra từ III, p. 13, mệnh đề 1, rằng các tập hợp của $\mathscr{S}$ bị chặn đối với $\sigma(E', E)$ (xem. ở dưới, III, p. 22, mệnh đề 9); nói cách khác, $\mathscr{S}$ là một bornology thích nghi và phủ đối với tôpô $\sigma(E', E)$. Khi đó Định lý 2 là một hệ quả của đ. lý 1 nếu ta thay thế $E$ bởi $E'$ và $E'_\mathscr{S}$ bởi $E$.

Ta biết rằng đối ngẫu của $E$ có thể được đồng nhất với tích của các đối ngẫu của các $E_i$ (II, p. 30, công thức (1)). Cho $u \in \hat{E}$, và cho $u_i \in {E_i'}^*$ là hạn chế của $u$ (được xét như một phần tử của ${E'}^*$) lên $E_i' \subset E'$. Ngay lập tức thấy rằng chỉ cần chứng minh rằng $u_i = 0$ trừ ra đối với một số hữu hạn chỉ số $i \in I$. Giả sử ngược lại rằng tồn tại một dãy $(i_n)_{n \in \mathbf{N}}$ các chỉ số phân biệt sao cho $u_{i_n} \neq 0$. Khi đó tồn tại $x_{i_n} \in E_{i_n}'$ sao cho $u_{i_n}(x_{i_n}) = n$. Tập hợp $H$ gồm tất cả các $x_{i_n}$ là đồng liên tục trong $E'$ và hạn chế của $u$ lên $H$ không bị chặn, điều này là không thể.

Thật vậy, nếu $H$ là một tập con đồng liên tục của $\mathscr{L}(E; F)$ và $V$ là một lân cận của 0 trong F, thì tập $\bigcap_{u \in H} u^{-1}(V)$ là một lân cận của 0 trong E, do đó hấp thụ mọi tập con bị chặn của E.

Một tập con của $\mathscr{L}(E; F)$ bị chặn đối với một $\mathscr{S}$-tôpô không nhất thiết là đồng liên tục, ngay cả khi $\mathscr{S}$ là phủ và $\mathscr{S}$ là bornology chính tắc trên E (IV, p. 50, exerc. 17). Trong đoạn sau chúng tôi sẽ nghiên cứu, dưới tên gọi các không gian barrelled, các không gian E sao cho mọi tập con chỉ bị chặn của $\mathscr{L}(E; F)$ đều đồng liên tục. Hiện thời, chú ý kết quả sau đây :

Với mọi lân cận lồi cân bằng $V$ của 0 trong F, tập $\bigcap_{u \in H} u^{-1}(V)$ hấp thụ mọi tập con bị chặn của E, do đó là một lân cận của 0 trong E ; điều này chứng minh rằng H là đồng liên tục.

Vì H bị chặn trong $\mathscr{L}_{\mathscr{S}}(E; F)$ (III, p. 22, prop. 9) và đóng trong $F^E$ đối với $\mathscr{S}$-tôpô (III, p. 16, prop. 4), điều này suy ra từ hệ quả 3 của GT, X, § 1, No. 5.

Thật vậy, theo mệnh đề 5 (III, p. 17) thì $\Phi$ là một bộ lọc Cauchy đối với cấu trúc đều của hội tụ trên các tập tiền compắc trong E; theo mệnh đề 11, bao đóng $\overline{H}$ của H trong $\mathscr{L}_{pc}(E; F)$ là đầy đủ và do đó $\Phi$ hội tụ đều trên mọi tập con tiền compắc của E đến một ánh xạ $u \in \overline{H}$.

Gọi $\Phi$ là một bộ lọc Cauchy trong $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E; F)$. Khi đó $\Phi$ là một bộ lọc Cauchy đối với tôpô hội tụ đơn giản, nên hội tụ trong $F^E$; hơn nữa, giới hạn $u$ của nó là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F và $\Phi$ hội tụ đến $u$ một cách đều trên mọi tập hợp của $\mathfrak{S}$ (GT, X, § 1, No. 5, mệnh đề 5). Suy ra ảnh qua $u$ của một dãy hội tụ về không là một dãy hội tụ về không, do đó $u$ là liên tục, vì E là bornological (III, p. 11, mệnh đề 1, (iii)).