Exercice 10, § 4

a) Soient G, H deux espaces de Banach réflexifs tels que R^{(N)} ⊂ G ⊂ H ⊂ R^N (* par exemple G = $\ell^r$(N) et H = $\ell^p$(N), avec 1 < r < p < +∞ ). Montrer qu'on satisfait aux conditions de l'exerc. 9, a) en prenant A = N × N, P = H^{(N)} (somme directe topologique), P' = H'^N, Q = G^N, Q' = G'^{(N)}, E = G^{(N)}, E' = G'^N; E' est alors un espace de Fréchet réflexif, E, F, F' des limites inductives strictes d'espaces de Fréchet réflexifs (donc complets et réflexifs). b) Déduire de a) et de l'exerc. 9 des exemples des phénomènes suivants : α) Un espace quotient d'une limite inductive stricte d'espaces de Fréchet réflexifs qui n'est pas quasi-complet, ni semi-réflexif. β) Un sous-espace fermé d'une limite inductive stricte d'espaces de Fréchet réflexifs qui n'est pas réflexif, et dont le dual n'est pas complet. γ) Un sous-espace vectoriel d'une limite inductive stricte d'espaces de Fréchet réflexifs En, qui n'est pas fermé (et donc n'est pas tonnelé) bien que l'intersection de ce sous-espace avec chacun des sous-espaces E_n soit fermée. δ) Un sous-espace non fermé du dual d'un espace limite inductive stricte d'espaces de Fréchet réflexifs, dont l'intersection avec toute partie faiblement compacte est faiblement compacte (cf. IV, p. 25, cor. 2).