Bài tập 10, § 4

a) Cho G, H là hai không gian Banach phản xạ sao cho $\mathbf{R}^{(\mathbf{N})} \subset G \subset H \subset \mathbf{R}^{\mathbf{N}}$ (chẳng hạn $G = \ell^r(\mathbf{N})$ và $H = \ell^p(\mathbf{N})$, với $1 < r < p < + \infty$). Lấy $A = \mathbf{N} \times \mathbf{N}$, $P = H^{(\mathbf{N})}$ (tổng trực tiếp tôpô), $P' = {H'}^{\mathbf{N}}$, $Q = G^{\mathbf{N}}$, $Q' = {G'}^{(\mathbf{N})}$, $E = G^{(\mathbf{N})}$, $E' = {G'}^{\mathbf{N}}$, chứng minh rằng các điều kiện của bài tập 9, a) được thỏa mãn; rằng $E'$ là một không gian Fréchet phản xạ, rằng E, F, F' là các giới hạn quy nạp ngặt của các không gian Fréchet phản xạ (do đó đầy đủ và phản xạ).

b) Từ a) và bài tập 9, xây dựng các ví dụ có các tính chất sau: $\alpha)$ Một không gian thương của một giới hạn quy nạp ngặt của các không gian Fréchet phản xạ không là nửa đầy đủ cũng không nửa phản xạ. $\beta)$ Một không gian con đóng của một giới hạn quy nạp ngặt của các không gian Fréchet phản xạ không phản xạ, và có đối ngẫu không đầy đủ. $\gamma)$ Một không gian con vectơ của một giới hạn quy nạp ngặt của các không gian Fréchet phản xạ $E_n$, không đóng (do đó không là barrelled) nhưng giao của nó với mỗi không gian con $E_n$ là đóng. $\delta)$ Một không gian con không đóng của đối ngẫu của một giới hạn quy nạp ngặt của các không gian Fréchet phản xạ, mà giao của nó với mọi tập con yếu compact là yếu compact (xem thêm IV, p. 25, hệ quả 2).