Exercice 11, § 4

a) Soit E une limite inductive stricte d'espaces de Fréchet E_n de type dénombrable, et soit F un sous-espace partout dense de E. Pour tout n, on pose F_n = \overline{F ∩ E_n}; montrer que E est limite inductive stricte des F_n (cf. III, p. 45, exerc. 13, b)). En déduire que F est bornologique. (Soit u une application linéaire de F dans un espace de Banach L transformant tout ensemble borné en un ensemble borné. Observer que la restriction u_n de u à F ∩ E_n est continue et se prolonge en une application linéaire continue v_n de \overline{F ∩ E_n} dans L, les v_n étant restrictions d'une même application linéaire v de E dans L, et conclure que v est continue.) b) On suppose que F n'est pas fermé dans E mais que F ∩ E_n soit fermé dans E_n pour tout n (exerc. 10, b)). Soit A_n un ensemble dénombrable dense dans E_n, et soit G le sous-espace vectoriel de E engendré par la réunion de F et des A_n. Montrer que G est un espace bornologique dans lequel F est un sous-espace ayant un supplémentaire admettant une base dénombrable, mais que F n'est pas infratonné (cf. III, p. 42, § 2, exerc. 4 et p. 46, exerc. 17).