Bài tập 11, § 4

a)** Cho $E$ là một giới hạn quy nạp ngặt của các không gian Fréchet $E_n$ thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, và $F$ là một không gian con trù mật khắp nơi của $E$. Với mọi $n$, đặt $F_n = \overline{F \cap E_n}$; chứng minh rằng $E$ là giới hạn quy nạp ngặt của các $F_n$ (cf. III, p. 44, exerc. 13, b)). Suy ra rằng $F$ là không gian sinh. (Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính từ $F$ vào một không gian Banach $L$ biến mọi tập hợp bị chặn thành một tập hợp bị chặn. Nhận xét rằng hạn chế $u_n$ của $u$ vào $F \cap E_n$ là liên tục và có thể được mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính liên tục $v_n$ từ $\overline{F \cap E_n}$ vào $L$, các $v_n$ là các hạn chế của cùng một ánh xạ tuyến tính $v$ từ $E$ vào $L$, và kết luận rằng $v$ là liên tục.) b) Giả sử rằng $F$ không đóng trong $E$ nhưng $F \cap E_n$ đóng trong $E_n$ với mọi $n$ (exerc. 10, b)). Gọi $A_n$ là một tập hợp trù mật đếm được trong $E_n$, và gọi $G$ là không gian vectơ con của $E$ sinh bởi hợp của $F$ và các $A_n$. Chứng minh rằng $G$ là một không gian sinh trong đó $F$ là một không gian con có một phần bù có cơ sở đếm được, nhưng $F$ không là infra-barrelled (cf. III, p. 41, § 2, exerc. 4 and p. 45, exerc. 17).