Exercice 13, § 4

a) Soit E un espace localement convexe séparé et complet. On suppose qu'il existe dans E une suite décroissante (F_n) de sous-espaces vectoriels fermés tels que, pour tout voisinage V de 0 dans E, il existe n tel que F_n ⊂ V. Montrer que E est un espace de type minimal (II, p. 90, exerc. 13). b) Soit E un espace de Fréchet de type dénombrable, qui n'est pas de type minimal. Montrer qu'il existe dans E deux sous-espaces vectoriels fermés M, N tels que M ∩ N = {0} et que M + N ne soit pas fermé. (En désignant par (x'_n) une suite de formes linéaires continues sur E, linéairement indépendantes et formant un ensemble total pour σ(E', E) (III, p. 19, cor. 2), soit $L_n$ le sous-espace de $E$ orthogonal aux $x_i'$ d’indice $i \leq 2n$; soient $x_n, y_n$ deux vecteurs linéairement indépendants dans un supplémentaire de $L_{n+1}$ par rapport à $L_n$. Soit $d$ une distance invariante par translation définissant la topologie de $E$. En utilisant a), montrer qu’il existe un nombre $\alpha > 0$ tel que l’on puisse prendre $d(0, x_n) \geq \alpha,\ d(0, y_n) \geq \alpha$ et $d(x_n, y_n) \leq 1/n$. Montrer que si $M$ (resp. $N$) est le sous-espace vectoriel fermé engendré par les $x_n$ (resp. $y_n$), $M$ et $N$ répondent à la question, en utilisant I, p. 19, cor. 4.) c) Soit $E$ un sous-espace fermé d’un produit $\prod_{\alpha \in A} F_\alpha$ d’espaces normés ; montrer que si tout sous-espace fermé de $E$ engendré par une famille dénombrable de points est de type minimal, alors $E$ lui-même est de type minimal. (Raisonner par l’absurde en supposant que la projection de $E$ sur chaque $F_\alpha$ est égale à $F_\alpha$, et qu’il y a un $F_\alpha$ de dimension infinie.) d) Soit $E$ un espace localement convexe séparé et complet, dont tout sous-espace engendré par une famille dénombrable de points est métrisable. Pour que $E$ soit de type minimal, il faut et il suffit que pour tout couple de sous-espaces vectoriels fermés $M, N$ de $E$ tels que $M \cap N = \{0\}$, $M + N$ soit fermé dans $E$ (utiliser $b$) et c).