Bài tập 13, § 4

a)** Cho $E$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff và đầy đủ. Giả sử tồn tại $(F_n)$ là một dãy giảm các không gian con vectơ đóng của $E$ sao cho với mọi lân cận $V$ của 0 trong $E$, tồn tại $n$ sao cho $F_n \subset V$. Hãy chứng minh rằng không gian $E$ là kiểu cực tiểu (II, p. 85, bài tập 13). b) Cho $E$ là một không gian Fréchet thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, và không thuộc kiểu cực tiểu. Hãy chứng minh rằng tồn tại hai không gian con vectơ đóng $M, N$ trong $E$ sao cho $M \cap N = \{0\}$ và $M + N$ không đóng. (Gọi $(x'_n)$ là một dãy các phiếm hàm tuyến tính liên tục độc lập tuyến tính trên $E$, tạo thành một tập hợp toàn thể đối với $\sigma(E', E)$ (III, p. 19, hệ quả 2)); gọi $L_n$ là không gian con của $E$ trực giao với các $x'_i$ với các chỉ số $i \leq 2n$; gọi $x_n, y_n$ là hai vectơ độc lập tuyến tính trong phần bù của $L_{n+1}$ đối với $L_n$. Gọi $d$ là một khoảng cách bất biến qua phép tịnh tiến xác định tôpô của $E$. Dùng a), hãy chứng minh rằng tồn tại một số $\alpha > 0$ sao cho ta có thể chọn $d(0, x_n) \geq \alpha, d(0, y_n) \geq \alpha$ và $d(x_n, y_n) \leq 1/n$. Hãy chứng minh rằng nếu $M$ (tương ứng $N$) là không gian con vectơ đóng sinh bởi các $x_n$ (tương ứng $y_n$), thì $M$ và $N$ có các tính chất yêu cầu; dùng I, p. 19, hệ quả 4.) c) Cho $E$ là một không gian con đóng của một tích $\prod_{\alpha \in A} F_\alpha$ các không gian định chuẩn; hãy chứng minh rằng nếu mọi không gian con đóng của $E$ sinh bởi một họ đếm được các điểm đều là kiểu cực tiểu, thì bản thân $E$ là kiểu cực tiểu. (Lập luận bằng phản chứng, giả sử rằng phép chiếu của $E$ lên mỗi $F_\alpha$ bằng $F_\alpha$, và với một $\alpha$ nào đó, $F_\alpha$ là vô hạn chiều.) d) Cho $E$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff và đầy đủ, trong đó mọi không gian con sinh bởi một họ đếm được các điểm đều mêtric hóa được. Để $E$ là kiểu cực tiểu, điều kiện cần và đủ là với mọi cặp không gian con vectơ đóng $M, N$ của $E$ sao cho $M \cap N = \{0\}$, $M + N$ đóng trong $E$ (dùng b) và c)).