Exercice 14, § 4

a) Soit $E$ un espace de Fréchet sur lequel il n’existe aucune norme continue. Montrer qu’il existe dans $E$ un sous-espace vectoriel fermé de type minimal (II, p. 90, exerc. 13), de dimension infinie, qui admet par suite un supplémentaire topologique dans $E$. (Il existe une suite fondamentale strictement décroissante ($V_n$) de voisinages convexes équilibrés de 0 dans $E$, et une suite $(x_n)$ de points de $E$ telle que $x_n \notin V_{n+1}$ et que la droite passant par $x_n$ soit contenue dans $V_n$, les $x_n$ étant linéairement indépendants ; montrer que le sous-espace vectoriel fermé engendré par les $x_n$ répond à la question.) b) Soit $E$ un espace de Fréchet dont la topologie ne peut être définie par une seule norme, mais par une suite croissante $(p_n)$ de normes. Soit $V_n$ le voisinage défini par $p_n(x) \leq 1$, et soit $A'_n = V_n^\circ$ son polaire dans $E'$ ; on peut supposer que $A'_{n+1}$ n’est pas contenu dans le sous-espace vectoriel de $E'$ engendré par $A'_n$ (IV, p. 49, exerc. 12, c)). Soit $(x'_n)$ une suite de points de $E'$ telle que $x'_n \in A'_n$ et que $x'_n$ n’appartienne pas au sous-espace vectoriel engendré par $A'_{n-1}$ ; montrer que le sous-espace vectoriel $M'$ engendré par la suite $(x'_n)$ est faiblement fermé dans $E'$ (cf. IV, p. 25, cor. 2) et n’admet pas de supplémentaire topologique dans $E'$ pour la topologie $\sigma(E', E)$. (Remarquer que s’il existait un projecteur faiblement continu $u'$ de $E'$ sur $M'$, $u'(A'_1)$ serait contenu dans un des ensembles $M' \cap A'_n$ en vertu du th. de Baire, et en conclure une contradiction, $A'_1$ étant faiblement total dans $E'$.) En déduire que le sous-espace $M''_o$ de $E$ n’admet pas de supplémentaire topologique dans $E$. c) Soit $E$ un espace de Fréchet dont la topologie ne peut être définie par une seule norme. Montrer que si $E$ n’est pas isomorphe à un produit d’espaces de Banach, il existe dans $E$ un sous-espace vectoriel fermé n’admettant pas de supplémentaire topologique. (Raisonnant par l’absurde, soit $(p_n)_{n \geq 1}$ une suite croissante de semi-normes sur $E$, définissant la topologie de $E$ ; soit $F_n = p_n^{-1}(0)$, et soit $E_{n+1}$ un supplémentaire topologique de $F_{n+1}$ par rapport à $F_n$ (on pose $E = F_0$) ; utilisant $b$) , montrer que $E_{n+1}$ est un espace de Banach et que $E$ est isomorphe au produit des $E_n$ ($n \geq 1$) ; utiliser pour cela I, p. 17, th. 1.)