Bài tập 14, § 4

(a) Cho $E$ là một không gian Fréchet trên đó không tồn tại chuẩn liên tục nào. Chứng minh rằng tồn tại một không gian con vectơ đóng kiểu cực tiểu trong $E$ (II, p. 85, exerc. 13), là vô hạn chiều, và do đó, có một phần bù tôpô trong $E$. (Tồn tại một dãy cơ bản giảm nghiêm ngặt $(V_n)$ các lân cận lồi, cân bằng của 0 trong $E$, và một dãy $(x_n)$ các điểm của $E$ sao cho $x_n \notin V_{n+1}$ và sao cho đường thẳng đi qua $x_n$ được chứa trong $V_n$, các $x_n$ độc lập tuyến tính; chứng minh rằng không gian cần tìm là không gian con vectơ đóng sinh bởi các $x_n$.)

(b) Cho E là một không gian Fréchet mà tôpô của nó không thể được xác định bởi một chuẩn duy nhất, mà bởi một dãy tăng $(p_n)$ các chuẩn. Cho $V_n$ là lân cận được xác định bởi $p_n(x) \leq 1$, và cho $A'_n = V_n^\circ$ là đối cực của nó trong $E'$; ta có thể giả sử rằng $A'_{n+1}$ không được chứa trong không gian con vectơ của $E'$ sinh bởi $A'_n$ (IV, p. 49, exerc. 12, c)). Cho $(x'_n)$ là một dãy các điểm của $E'$ sao cho $x'_n \in A'_n$ và $x'_n$ không thuộc không gian con vectơ sinh bởi $A'_{n-1}$; chứng minh rằng không gian con vectơ $M'$ sinh bởi dãy $(x'_n)$ là đóng yếu trong $E'$ (cf. IV, p. 25, cor. 2) và không có phần bù tôpô trong $E'$ đối với tôpô $\sigma(E', E)$. (Nhận xét rằng nếu tồn tại một phép chiếu liên tục yếu $u'$ từ $E'$ lên $M'$, thì $u'(A'_1)$ sẽ được chứa trong một trong các tập hợp $M' \cap A'_n$ theo định lý Baire, và suy ra một mâu thuẫn, vì $A'_1$ là toàn yếu trong $E'$.) Suy ra rằng không gian con ${M'}^\circ$ của $E$ không có phần bù tôpô trong $E$.

(c) Cho E là một không gian Fréchet mà tôpô của nó không thể được xác định bởi một chuẩn duy nhất. Chứng minh rằng nếu E không đẳng cấu với một tích của các không gian Banach, thì tồn tại một không gian con vectơ đóng trong E không có phần bù tôpô. (Lập luận bằng reductio ad absurdum; cho $(p_n)_{n \geq 1}$ là một dãy tăng các nửa chuẩn trên E, xác định tôpô của E; cho $F_n = p_n^{-1}(0)$ và cho $E_{n+1}$ là một phần bù tôpô của $F_{n+1}$ đối với $F_n$ (ta đặt $E = F_0$); sử dụng b), chứng minh rằng $E_{n+1}$ là một không gian Banach và rằng E đẳng cấu với tích của các $E_n (n \geq 1)$; về điều này sử dụng I, p. 17, th. 1.)