Exercice 15, § 4

a) Soit $E$ un espace normé (réel ou complexe) de dimension infinie. Montrer qu’il existe dans $E$ une suite $(x_n)$ telle que, pour toute suite bornée $(\lambda_n)$ de scalaires, il existe une forme linéaire continue $x'$ sur $E$ telle que $\langle x_n, x' \rangle = \lambda_n$ pour tout $n$. (Former une suite $(x'_n)$ de points du dual $E'$ de $E$ et une suite $(x_n)$ de points de $E$ telles que $\langle x_i, x'_j \rangle = \delta_{ij}$ et $\|x'_n\| \leq 2^{-n}$.) b) Pour qu’un espace localement convexe métrisable $E$ possède la propriété énoncée dans a), il faut et il suffit que le complété de $E$ ne soit pas un espace de type minimal (II, p. 90, exerc. 13).