Exercice 16, § 4

a) Soient $E$ et $F$ deux espaces normés complexes de dimension infinie, et soit $u$ une application semi-linéaire bijective de $E$ sur $F$, relative à un automorphisme $\sigma$ de $\mathbf{C}$, et transformant tout hyperplan fermé de $E$ en un hyperplan fermé de $F$. Montrer que l’automorphisme $\sigma$ de $\mathbf{C}$ est nécessairement continu (et par suite est l’identité ou l’automorphisme $\xi \mapsto \overline{\xi}$). (Raisonnner par l’absurde : soit $(x_n)$ une suite de points de $E$ satisfaisant à la condition de l’exerc. 15, $a$) , et soit $(\lambda_n)$ une suite bornée de nombres complexes telle que $|\lambda_n^\sigma| \geq n \cdot \|u(x_n)\|$ pour tout $n$ ; si $x' \in E'$ est telle que $\langle x_n, x' \rangle = \lambda_n$ pour tout $n$, considérer l’image par $u$ de l’hyperplan fermé des $x \in E$ tels que $\langle x, x' \rangle = 1$, et obtenir une contradiction.)

b) Déduire de a) que $u$ est une application semi-linéaire continue de $E$ dans $F$ (IV, p. 7, corollaire). c) Soit $\sigma$ un automorphisme discontinu du corps $\mathbf{C}$. Montrer que la bijection $(\xi_n) \mapsto (\xi_n^\sigma)$ de $\mathbf{C}^N$ sur lui-même transforme tout hyperplan fermé en un hyperplan fermé (cf. IV, p. 13, prop. 15).