Bài tập 16, § 4

a) Cho E và F là hai không gian định chuẩn chiều vô hạn phức, và $u$ là một ánh xạ nửa tuyến tính song ánh từ E lên F, đối với một tự đẳng cấu $\sigma$ của $\mathbf{C}$, biến mọi siêu phẳng đóng của E thành một siêu phẳng đóng của F. Chứng minh rằng tự đẳng cấu $\sigma$ của $\mathbf{C}$ nhất thiết liên tục (và do đó, hoặc là đồng nhất hoặc là tự đẳng cấu $\xi \mapsto \overline{\xi}$). (Lập luận bằng phản chứng: xét $(x_n)$ là một dãy điểm của E thỏa mãn điều kiện của bài tập 15, a) và $(\lambda_n)$ là một dãy bị chặn các số phức sao cho $|\lambda_n^\sigma| \geq n.\ \|u(x_n)\|$ với mọi $n$; nếu $x' \in E'$ sao cho $\langle x_n, x' \rangle = \lambda_n$ với mọi $n$, xét ảnh qua $u$ của siêu phẳng đóng gồm tất cả các $x \in E$ sao cho $\langle x, x' \rangle = 1$ và suy ra một mâu thuẫn.) b) Suy ra từ a) rằng $u$ là một ánh xạ nửa tuyến tính liên tục từ E vào F (IV, p. 7, hệ quả). c) Cho $\sigma$ là một tự đẳng cấu không liên tục của trường $\mathbf{C}$. Chứng minh rằng song ánh $(\xi_n) \mapsto (\xi_n^\sigma)$ từ $\mathbf{C}^N$ lên chính nó biến mọi siêu phẳng đóng thành một siêu phẳng đóng (xem IV, p. 14, mệnh đề 15).