Exercice 17, § 4

Soient $E, F$ deux espaces de Banach, $u$ un morphisme strict de $E$ sur $F$. Il existe alors un nombre $m > 0$ tel que pour tout $\varepsilon \in ]0, m[$ et tout $y \in F$, il existe $z \in E$ tel que $u(z) = y$ et $\|z\| \leq (m - \varepsilon)^{-1} \|y\|$. a) Soit $B$ une boule fermée $\|x - a\| \leq r$ dans $E$, et soit $w$ une application de $B$ dans $F$ vérifiant les conditions suivantes : $1^o$ $\sup_{x \in B} \|w(x)\| = M < + \infty ; 2^o$ il existe un nombre $k > 0$ tel que, quels que soient $x, x'$ dans $B$, on ait $\|w(x) - w(x')\| \leq k \|x - x'\|$ (« condition de Lipschitz »). Montrer que si $k < m$ et $M < r(m - k)$, l’image de $B$ par l’application $x \mapsto u(x) + w(x)$ contient une boule de centre $b = u(a)$. (Montrer que pour tout $y \in F$ assez voisin de $b$, on peut définir une suite $(x_n)_{n \geq 0}$ de points de $B$ telle que $u(x_0) = y$, et $u(x_n) = y - w(x_{n-1})$ pour $n \geq 1$, telle que la suite $(x_n)$ converge vers un point de $B$.) b) On suppose que $w$ soit une application de $E$ tout entier dans $F$, telle que l’on ait $\|w(x) - w(x')\| \leq k \|x - x'\|$ quels que soient $x, x'$ dans $E$. Montrer que si $k < m$, $u + w$ est une application surjective et ouverte de $E$ sur $F$. c) En particulier, si $w$ est une application linéaire continue de $E$ dans $F$ telle que $\|w\| < m$, $v = u + w$ est un morphisme strict de $E$ sur $F$. Si $\varepsilon \in ]0, m[$, pour tout $x \in v^{-1}(0)$ tel que $\|x\| = 1$, il existe $x_0 \in u^{-1}(0)$ tel que $\|x - x_0\| \leq \|w\|(m - \varepsilon)$; si de plus $\|w\| < m - \varepsilon$, pour tout $x_0 \in u^{-1}(0)$ tel que $\|x_0\| = 1$, il existe $x \in v^{-1}(0)$ tel que

En déduire que s’il existe un sous-espace vectoriel fermé $G$ de $E$ supplémentaire de $u^{-1}(0)$, $G$ est aussi supplémentaire de $v^{-1}(0)$ dès que $\|w\|$ est assez petit (raisonner par l’absurde pour montrer que la projection de $v^{-1}(0)$ sur $u^{-1}(0)$ ne peut être contenue dans un hyperplan fermé de $u^{-1}(0)$; noter d’autre part qu’il existe $a > 0$ tel que tout point $x \in G$ tel que $\|x\| = 1$ ait une distance $\geq a$ à $u^{-1}(0)$).