Bài tập 17, § 4

Cho E, F là hai không gian Banach, $u$ là một cấu xạ ngặt từ E lên F. Khi đó tồn tại một số $m > 0$ sao cho với mọi $\varepsilon \in ]0, m[$ và mọi $y \in F$, tồn tại $z \in E$ sao cho $u(z) = y$ và $\|z\| \leq (m - \varepsilon)^{-1}\ \|y\|$. a) Cho B là một quả cầu đóng $\|x - a\| \leq r$ trong E, và cho $\omega$ là một ánh xạ từ B vào F thỏa mãn các điều kiện sau : $1^o$ $\sup_{x \in B} \|w(x)\| = M < + \infty$; $2^o$ tồn tại một số $k > 0$ sao cho với mọi $x, x'$ trong B, ta có $\|w(x) - w(x')\| \leq k \|x - x'\|$ ("điều kiện Lipschitz"). Chứng minh rằng nếu $k < m$ và $M < r(m - k)$, thì ảnh của B qua ánh xạ $x \mapsto u(x) + w(x)$ chứa một quả cầu có tâm $b = u(a)$. (Chứng minh rằng với mọi $y \in F$ đủ gần $b$, ta có thể định nghĩa một dãy $(x_n)_{n \geq 0}$ các điểm của B sao cho $u(x_0) = y$ và $u(x_n) = y - w(x_{n-1})$ với $n \geq 1$, và sao cho $(x_n)$ hội tụ đến một điểm của B.) b) Giả sử rằng $w$ là một ánh xạ từ toàn bộ E vào F, sao cho $\|w(x) - w(x')\| \leq k \|x - x'\|$ với mọi $x, x'$ trong E. Chứng minh rằng nếu $k < m$, $u + w$ là một ánh xạ toàn ánh và mở từ E lên F. c) Đặc biệt, nếu $w$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F sao cho $\|w\| < m$, thì $v = u + w$ là một cấu xạ ngặt từ E lên F. Nếu $\varepsilon \in ]0, m[$, thì với mọi $x \in v^{-1}(0)$ thỏa mãn $\|x\| = 1$, tồn tại $x_0 \in u^{-1}(0)$ sao cho $\|x - x_0\| \leq \|w\|/(m - \varepsilon)$; nếu thêm vào đó $\|w\| < m - \varepsilon$, thì với mọi $x_0 \in u^{-1}(0)$ thỏa mãn $\|x_0\| = 1$, tồn tại $x \in v^{-1}(0)$ sao cho

Suy ra rằng nếu tồn tại một không gian con vectơ đóng G của E là phần bù của $u^{-1}(0)$, thì G cũng là phần bù của $v^{-1}(0)$ khi $\|w\|$ đủ nhỏ (lập luận bằng phản chứng : chứng minh rằng phép chiếu của $v^{-1}(0)$ lên $u^{-1}(0)$ không thể được chứa trong một siêu phẳng đóng của $u^{-1}(0)$; mặt khác, chú ý rằng tồn tại $a > 0$ sao cho mọi điểm $x \in G$ thỏa mãn $\|x\| = 1$ đều cách $u^{-1}(0)$ một khoảng $\geq a$).