Exercice 18, § 4

a) Soient $E, F$ deux espaces normés, $u$ un morphisme strict injectif de $E$ dans $F$; il y a donc un nombre $m > 0$ tel que $\|u(x)\| \geq m \|x\|$ pour tout $x \in E$. Montrer que si $w$ est une application linéaire continue de $E$ dans $F$ telle que $\|w\| < m$, $v = u + w$ est un morphisme strict injectif de $E$ dans $F$. En outre, pour tout $y_0 \in u(E)$ tel que $\|y_0\| = 1$, il existe $y \in v(E)$ tel que $\|y - y_0\| \leq \|w\|/m$; pour tout $y \in v(E)$ tel que $\|y\| = 1$, il existe $y_0 \in u(E)$ tel que $\|y - y_0\| \leq \|w\|(m - \|w\|)$. b) Déduire de a) que si $E$ et $F$ sont en outre des espaces de Banach, et s’il existe un sous-espace vectoriel fermé $G$ de $F$ supplémentaire du sous-espace fermé $u(E)$, $G$ est aussi supplémentaire de $v(E)$ dès que $\|w\|$ est assez petit (raisonner comme dans l’exerc. 17, c)).