Bài tập 18, § 4

a) Cho E, F là hai không gian định chuẩn, $u$ là một cấu xạ đơn ánh ngặt từ E vào F ; khi đó tồn tại một số $m > 0$ sao cho $\|u(x)\| \geq m \|x\|$ với mọi $x \in E$. Chứng minh rằng nếu $w$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F sao cho $\|w\| < m$, thì $v = u + w$ là một cấu xạ đơn ánh ngặt từ E vào F. Hơn nữa, với mọi $y_0 \in u(E)$ sao cho $\|y_0\| = 1$, tồn tại $y \in v(E)$ sao cho $\|y - y_0\| \leq \|w\|/m$; với mọi $y \in v(E)$ thỏa mãn $\|y\| = 1$, tồn tại $y_0 \in u(E)$ sao cho $\|y - y_0\| \leq \|w\|/(m - \|w\|)$. b) Suy ra từ a) rằng, nếu thêm vào đó, E và F là các không gian Banach, và nếu tồn tại một không gian con vectơ đóng G của F là không gian bù của không gian con đóng $u(E)$, thì G cũng là không gian bù của $v(E)$ khi $\|w\|$ đủ nhỏ (lập luận như trong bài tập 17, c)).